Ungleichung mit 2 variablen

Question

ich soll die ungleichung lösen , habe aber probleme bei der umformung und weis leider nicht, ob ich das richtig gelöst habe

((2ab)/a+b)^2 <= ab // (bin formel auflösen)

4a^2 b^2/a^2+2ab+b^2 <= ab // *(a^2+2ab+b^2)

4a^2 b^2 <=a^3 b + 2a^2 b^2 + ab^3 // -2a^2 b^2

2a^2 b^2 <= a^3 b + ab^3 // :a // :b

2ab <= a^2 +b^2

weiter weis ich leider net ..und stimmt die umformung bis hier hin

Mfg

Comments

Hi, das ist wohl richtig umgeformt, denn es gilt sicher \(ab\ge0\). Im letzten Schritt kannst Du \(2ab\) nach rechts bringen und die binomische Formel anwenden.

Answer 1

(2·a·b/(a + b))^2 ≤ a·b

4·a^2·b^2/(a + b)^2 ≤ a·b

4·a^2·b^2 ≤ a·b·(a + b)^2

4·a^2·b^2 ≤ a^3·b + 2·a^2·b^2 + a·b^3

a^3·b - 2·a^2·b^2 + a·b^3 ≥ 0

a·b·(a^2 - 2·a·b + b^2) ≥ 0

a·b·(a - b)^2 ≥ 0

a·b ≥ 0

Comments

Warum multiplizierst Du (ähnlich wie der Fragesteller) zunächst aus, um dasselbe dann später wieder zu faktorisieren? Das geht doch einfacher und schneller, wenn man auf das Ausmultiplizieren verzichtet.

Im übrigen ist dein letzter Umformungsschritt m.E. falsch.

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@jd133
welchen Rechenschritt meinst du ?
ich kann keinen Fehler entdecken.

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a·b·(a - b)² ≥ 0

Für a = b ist es erfüllt. Dann darf ich hoffentlich durch (a - b)^2 teilen. Ich wüsste zumindest nichts was dagegen sprechen würde.

Oder was meinst du?

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Es wurde offenbar im letzten Schritt durch \((a-b)^2\) geteilt. Dies ist so nicht erlaubt, da ja \(a=b\) sein könnte.

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Wie gesagt für a = b gilt die Zeile darüber auf jeden Fall und für a <> b darf ich teilen.

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a·b·(a - b)² ≥ 0

Wozu teilen ?

( a  - b )^2 ist stets postiv ( oder null )
Falls a * b auch postiv ist die Aussage auch wahr.
a*b > 0
Falls a*b = 0 ist die Aussage auch wahr.
Also
a*b ≥ 0