Aufgabe:
Wir definieren eine Abbildung \( d: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\( d\left(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right):=\left\{\begin{array}{ll} \left|y_{1}-y_{2}\right|, & \text { falls } x_{1}=x_{2} \\ \left|y_{1}\right|+\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{2}\right|, & \text { falls } x_{1} \neq x_{2} \end{array}\right. \)
(1) Der Balkon von Romeo befindet sich im Punkt \( R \) mit Koordinaten \( (1,3) \) und der Balkon von Julia im Punkt \( J \) mit Koordinaten \( (4,7) \). Berechnen Sie die Entfernung zwischen \( R \) und \( J \) bezüglich der Metriken, die von Normen \( \|\cdot\|_{1},\|\cdot\|_{2} \) und \( \|\cdot\|_{\infty} \) induziert \( { }^{1} \) sind.
(2) Beweisen Sie, dass \( d \) eine Metrik \( ^{2} \) auf \( \mathbb{R}^{2} \) ist. Berechnen Sie \( d(R, J) \).
(3) Skizzieren Sie die Kugel \( B_{1}((2,2)), B_{2}((2,2)), B_{3}((2,2)) \) und \( B_{4}((2,2)) \) in dem metrischen Raum \( \left(\mathbb{R}^{2}, d\right) \)
(4) Für die Menge \( M:=\{(t, 2) \mid 0<t<2\} \) geben Sie die folgenden Mengen an (alles bezüglich \( d \) ):
(a) Die Menge \( \operatorname{Ber}(M) \) der Berührpunkte von \( M \).
(b) Die Menge \( \mathbf{H P}(M) \) der Häufungspunkte von \( M \).
(c) Die Menge \( M^{\circ} \) der inneren Punkte von \( M \).
(d) Den Rand \( \partial M \).
(5) Berechnen Sie den Durchmesser (diameter) von \( M \) nach der Formel
\( \operatorname{diam}(M):=\sup _{a, b \in M} d(a, b) \)
Ansatz/Problem:
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen. Teil 1-3 ist kein Problem, aber ab Teil 4 wird es kritisch. Wie setze ich für die Menge der Berühr- bzw. Häufungspunkte an? Ansätze wären sehr hilfreich.
