1/8x^4 - 9/4x² + 4 | Tangente und Fläche

Question

ich habe die Gleichung gegeben: 1/8x^4 - 9/4x² + 4

Ich sollte die Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte berechnen, was ich hinbekommen habe.

Dann gibt es aber noch diese Aufgaben:

1. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P (-1; f(-1))

2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse vollständig eingeschlossen wird.

Könnte mir da bitte jemand helfen wie ich das anstelle?

Danke.

Answer 1

zu 1):

f´(x)=0,5x³-4,5x²

f´(-1)=-0,5-4,5=-5

f(-1)=15/8

Tangente:

y=mx+t

15/8=-5*(-1)+t

t=-49/8

y=-5x-49/8

zu 2):

Die Nullstellen sind: x=4 ∨ x=-4 ∨ x=√2 ∨ x=-√2

Du musst also einzelne Teilflächen hier berechnen, einmal von -4 bis -√2, dann von -√2 bis √2 und von √2 bis 4.

Stammfunktion F(x)=1/40 x^5 -3/4x^3+4x   (Die Konstante kann bei der Flächenberechnung vernachlässigt werden).

LG

Comments

Hallo Simon,
Fehlerhinweis
f´(x)=0,5x³-4,5x²
besser
f ´( x ) = 0.5 * x^3 - 4.5 * x

Stammfunktion F(x)=1/40 x⁵ -3/4x³+4x   (Die Konstante
kann bei der Flächenberechnung vernachlässigt werden).

Welche Konstante meinst du ?

Answer 2

f ( x ) = 1/8 * x^4 - 9/4 * x^2 + 4
f ´( x ) = 1/2 * x^3 - 9/2 * x

f ´( -1 ) = - 0.5 + 9/2
f ´( -1 ) = 4
f ( -1 ) = 15 / 8

Tangente im Punkt x = -1
y = m * x + b
15 / 8   = 4 * ( -1 ) + b
b = 47 / 8
y = 4 * x + 47 / 8

~plot~ 1/8 * x^4 - 9/4 * x^2 + 4 ~plot~

Wie du siehst ist die Funktion achsensymmetrisch. Wir brauchen nur den
rechten Teil berechnen und zum Schluß mal 2 zu nehmen
1/8x⁴ - 9/4x² + 4
Stammfunktion
S ( x ) = 1/8 * x^5 / 5 - 9/4 * x^3 / 3 + 4x

Zu berechnen
[ S ] zwischen 0 und Wurzel 2 ( 3.677 )
[ S ] zwischen Wurzel 2 und 4 ( - 10.077 )

Das 2.Integral muß als Fläche als Betrag = abs ( )  geschrieben werden
F = ( 3.677 + 10.077 ) * 2