Frage zu Eigenwerten und Eigenvektoren

Question

ich habe mal eine Frage zu Eigenwerten und Eigenvektoren.

Eigenvektoren sind doch die Basisvektoren vom Kern von (\(A- \lambda_i \mathbb{1}\)) mit \(\lambda_i\) den Eigenvektoren. Dann kann ein Eigenwert auch mehrere Eigenvektoren haben. Wie ist es aber bei mehrfachen Eigenwerten? Diese haben die gleichen Eigenvektoren. Müssen die Eigenvektoren nicht linear unabhängig sein?

Answer 1

Eigenwerte besitzen eine algebraische und eine geometrische Vielfachheit.
Die algebraische Vielfachheit ist das,was du mit mehrfachen Eigenwerten meinst. Die algebraische Vielfachheit ist also die Anzahl,wie oft eine Matrix A den Eigenwert Lambda besitzt.  Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der dazugehörigen Eigenvektoren. Hierbei gilt:
geo <= alg
Wobei geo immer größer als 1 ist. Also 1 Eigenvektor findest du auf jeden Fall. Es kann aber auch vorkommen dass du einen "3-fachen" Eigenwert hast und dazu nur einen Eigenvektor.

Beachte, dass es nicht die algebraische oder geometrische Vielfachheit einer Matrix gibt, sondern dass diese für jeden Eigenwert betrachtet werden muss.

Beantwortet das deine Frage?