Konvergenz von einer Reihe mit beliebigen Startwert

Question

Aufgabe:

Sei \( a_{n} \) eine komplexe Folge. Zeigen Sie das die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) genau dann konvergiert, wenn auch die Reihe \( \sum \limits_{n=j}^{\infty} a_{n} \) für ein beliebiges jeN.

Answer 1

Die Reihen unterscheiden sich ja nur um die ersten j (endlich viele) Summanden.

wenn die Reihe ab 0 konvergiert, teile sie auf in

a0+a1+....aj-1 + Reihe ab j
die erstenj Summanden ergeben ein z aus C und du hast
= z + Reihe ab j
also
Reihe ab o     -    z   =  reihe ab j
die linke Seite der Gleichung konvergiert, also auch die rechte.

wenn du umgekehrt ein j hast, für welches die Reihe ab j konvergiert,
betrachtest du

reihe ab 0 =  reihe ab j      -   z  
und argumentierst wie oben.