Beweis offene und geschlossene Teilmenge des R^2

Question

Ich habe folgendes Problem:

zz. 1. {(x, y) ∈ (0, ∞)x(0, ∞)|xy<1} offene Teilmenge des R^2

2. {(x,y)∈R^2|xy≤1} abgeschlossene Teilmenge des R^2.

Über die Lösung mit Erklärungen würde ich mich total freuen :)

Comments

Wie lautet die Definition von Offenheit und Abgeschlossenheit?

Answer 1

zu 1)  Das heißt ja nur: M ist die Menge aller Paare (x,y)  positiver Zahlen mit xy<1.

offen heißt ja wohl: zu jedem Paar p(x,y) aus M gibt es eine ganze Umgebung  U(p) in M.

Dazu muss man nur ein hinreichend kleines eps wählen.

So, dass dann ist für jedes (a,b) aus U_eps(p) gilt

ab < (x+eps)(y+eps) = xy + eps(x+y) + eps^2 < 1 + eps(x+y) + eps^2

Und für genügend kleines eps ist 1 + eps(x+y) + eps^2 immer

noch kleines als 1.

Und die zweite Menge ist das Komplement der ersten, weil die

erste offen ist, ist sie abgeschlossen.

Comments

Du hast mir sehr weitergeholfen. :)

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"Und für genügend kleines eps ist 1 + eps(x+y) + eps² immer noch kleines als 1."
Das würde ich bezweifeln.

"Und die zweite Menge ist das Komplement der ersten"
Das ebenfalls.

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Oh, da habe ich wohl ≤ und ≥ verwechselt.

Answer 2

Warst du schon mal im matematischen Kolloquium? Der Ablauf ist immer der gleiche.

Ein Gastredner stellt sein Spezialgebiet vor; ich denk mir jetzt mal was aus

" Konforme halbtoroidale Körpermorphismen auf Spinoralgebren. "

Der Reiz an der Sache: Keiner der anwesenden ( Profs ) hat je davon gehört; sonst würden sie ja die Nase rümpfen, das sei alles " trivial " ...

Jetzt hat der Schrat aber ( höchstens ) zwei Stunden Redezeit; was also wird er tun?

Paar Definitionen anschreiben und paar typische Beweise vorführen.

Er wird nicht verabsäumen, Dinge an die Tafel zu schreiben, die sein " Glasperlenspieler-Elfenbeinturm " als trivial empfindet ( Natürlich; damit seine eigenen genialen Entdeckungen um so leuchtender hervor strahlen)

Vor sein Genie platziert er natürlich paar Beweise, die Geschichte machten. Weil von Daher schreiben sich ja jene Vermutungen her, die er, das Genie, bewiesen hat ...

Noch Fragen? Lange Gesichter allenthalben.

Und jetzt weißt du, was ICH mit dir vor habe; MEIN Spezialgebiet ist die NSA ; IST von ===> Edward Nelson .

NSA = N(on) S(tandard) A(nalysis)

IST = I(dealisierung) ; S(tandardisierung) ; T(ransfer ) ; das sind Nelsons 3 Axiome ( Für Axiomatik ist hier kein Raum. )

Im Übrigen verweise ich auf das ausgezeichnete Lehrbuch zu dem Tema von Alain Robert bei Wiley ; dort findest du auch Nelsons Originalpaper zitiert.

Nelson tut etwas, was wohl einmalig sein dürfte in der Matematikgeschichte: In seiner Originalarbeit aus dem Jahre 1977 verweist er darauf, dass noch der genialste Matematiker seine IST Sprache stammeln lernte wie kleine Kinder ihre Muttersprache; d.h. am Anfang bildest du Regel widrige Sätze und stellst falsche Aussagen auf. Meine Erfahrung: Der Mann hat Recht ... ( Noch nie allerdings hat ein Kind dagegen gestreikt, sprechen zu lernen ... )

Warum treibe ich hier NSA? Nelson

" Ihr alle kennt den Witz: Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "

Bei der Lösung deiner Aufgaben suche ich nach einem Plus an Übersichtlichkeit.

Nur ein Beispiel, um dir den Mund wässrig zu machen.

Alle bisherigen Beweise des ===> Heine-Borel ( HB ) verlaufen chaotisch.

Eine Endlichkeitsaussage, aus welcher HB folgen würde, ist mir bis Heute nicht bekannt geworden.

Nelson bedarf des HB gar nicht; der steht da voll drüber.

Ich selbst habe den HB im Kopf bewiesen; in der Nelsondiktion ist er TRIVIAL .

Nelson kennt nämlich ein Lemma über endliche Mengen, das schon die " halbe Miete " darstellt ...

Wenn DU es nicht schaffst - stell ruhig deine Frage rein ...

Gleich am Anfang wollen wir eine Konvention einführen ( die Nelson leider noch nicht hat ) Wann immer wir NSA treiben, wollen wir in der Analysis ausschließlich Kleinbuchstaben benutzen - bitte auch für Mengen . Großbuchstaben sind Standardobjekten vorbehalten bzw. Variablen, deren Wertebereich ausschließlich Standard ist ( Das wären eventuell auch Zahlen. ) Glaub mir; es beugt Missverständnissen vor.

Vielleicht noch das. Analysisvorlesungen waren für mich immer der Horror; seit ich NSA treibe, macht mir Analysis echt Freude.

Gleich der erste Begriff, dessen du für deine Aufgabe bedarfst. Die Definition des begrenzten Vektors im |R ^ n

Definition 1

Ein Vektor v heißt begrenzt, wenn

(E) M > 0 : | v | < M   ( 1a )

Achtung! Der Teufel der Missverständnisse lauert hier überall. Dass ein Vektor beschränkt ( " bounded " ) ist, ist ja  trivial - dass er begrenzt ( " limited " ) ist, ist es nicht. Zum Vergleich mit ( 1a ) ; die Bedingung " Beschränkt " würde lauten

(E) m > 0 : | v | < m   ( 1b )

( Ich sags ja; immer auf Pappi hören. Ein Blick genügt; es ist der Unterschied zwischen " GROSS M " und " klein m " )
   Eine weitere Analogie, die mir einfällt. Analysis vor Nelson war Schwarzweißfernsehen; Nelson schaltete das Prädikat " Farbe " zu. Und Farbe erhöht bekanntlich den Kontrast; siehe oben den Beweis des HB ...
   In Schwarzweiß leuchten alle Punkte des |R ² einheitlich weiß. Jetzt sind die begrenzten Punkte " in der Nähe " des Nullpunktes rot ( Dabei ist 10 ^ 100 sicher noch begrenzt ! ) ,  und die unbegrenzten in " intergalaktischer Entfernung außerhalb des Ereignishorizonts "   sind beispielsweise grün.
   Warum nun sind begrenzte Vektoren so wichtig? Der " Schattensatz " , wie ich ihn mal nennen will.


    Satz 1 ( Schattensatz )

     Sei v ein begrenzter Vektor des |R ^ n Dann hat v eine eindeutige Zerlegung


       v = (v*) + €      ( 2a )
      
       v* := W  = Standard =: Schatten ( v )  ( 2b )

       € = inf(initesimal)    ( 2c )

    Also eine Zerlegung in " Standard + inf Rest "


     Bemerkung. Wie dir bekannt ist, ist |R bzw. |R ^ n ein vollständiger metrischer Raum; jede ===> Cauchyfolge konvergiert.
  ( Jede konvergente Folge ist auch eine Cauchyfolge; die Umkehrung stellt gerade die Forderung nach Vollständigkeit dar. ) Der Beweis des Schattensatzes macht ganz wesentlich von dieser Vollständigkeit Gebrauch; benutzt wird das ===> Supremumsaxiom der reellen Zahlen.
   Zur Konvention;  griechische Buchstaben reserviere ich im Folgenden für inf Vektoren.
 Diese Begriffe reichen nun schon für deine Aufgabe. Denn es gilt der Lehrsatz aus der Topologie ( den du natürlich herleiten müsstest )

     Satz 2

    Eine Teilmenge O des |R ^ n ist offen genau dann, wenn für alle begrenzten x


          (x*) € O ===> x € O    ( 3 )


    Vielleicht ein paar Erläuterungen. Hier werden die Punkte der Ebene in zwei " Klassen " eingeteilt; die unbegrenzten werden als unwesentlich erklärt für den Beweis. ( Die Theorie intressiert sich offenbar nicht für das, was " ganz weit draußen passiert. ")
   Satz 2 ließe sich wie folgt veranschaulichen:


     Satz und Aussage 3a

     " O ist offen <===> Wenn X € O , dann liegen sämtliche Kugelumgebungen u ( X ; € ) ganz innerhalb O . "

    Zum Vergleich; Aussage 3b ist i.A. falsch:

     Aussage 3b

    " Wenn o offen ist und x € o , dann lliegen sämtliche Kugelumgebungen u ( x ; r ) ganz innerhalb o . "

     
   Wenn du den Unterschied verstanden hast zwischen Aussagen 3a und 3b, bist du eigentlich schon übern Berg. Was der Alain Robert erzählt, geht ja alles in eine ähnliche Richtung.
   Wie bauen wir jetzt unseren Beweis auf? Bei Alain Robert fand ich in einem anderen Zusammenhang ( Kettenregel der Differenzialrechnung ) den netten aufmunternden Hinweis
 
   " You can prove it as you always wanted to. "

   Für x und y führen wir die Schattenzerlegung ( 2a ) durch

  
     x = X + €     ( 4a )
    
     y = Y + µ   ( 4b )

    x y = X Y + µ X + € Y + € µ   ( 4c )


     Dann ist aber offenbar


    ( x y )* = X Y   ( 4d )


   ( max Zeichen )

Comments

Dieser Kommentar ist die Fortsetzung; es tut mir Leid. Was soll ich machen, wenn ich allererst die Grundlagen erläutern muss?

Nach ( 1.3 ) müssen wir also zeigen

X Y < 1 ===> x y < 1   ( 2.1 )

Wenn du jetzt her gehst und für x y ( 1.4c ) einsetzt, merkst du, dass das rein von der Algebra erst mal gar nicht aufgeht. Es spricht überhaupt nichts dagegen, warum nicht x y > = 1 werden sollte.

Das wichtigste der 3 Nelsonaxiome " IST " ist das " T " ( Transfer ) Von diesem Axiom gibt es eine griffige Vereinfachung; ich nenne es das " Lemma von der Standardfunktion " Es ist sehr einfach und lautet

Y = F ( X )   ist Standard    ( 2.2 )

Man kann sich das gut merken, wenn du dir " Standard " bildlich vorstellst als DIN Normteile:

" Wenn ich ein DIN Teil X bearbeite mit einem genormten Arbeitsgang F , dann kommt ein DIN genormtes Fertigstück Y dabei heraus. "

In unserem Falle setze ich

F : |R ² ===> |R   ( 2.3a )

( x | y ) ===>  1 - x y   ( 2.3b )

Wieso ist F eine Standardfunktion; wieso darf ich " GROSS F " schreiben? Weil alles, was man dir erklären könnte, auch wenn du von Nelson nie gehört hättest - die ganze Schwarzweiß-Analysis eben - das ist alles Standard. Und diese Funktion bezieht sich ja auf nichts, was dir nicht schon vor Nelson bekannt gewesen wäre. ( Ganz wichtig: die Definition eines Standardobjekts darf nur Kleinbuchstaben enthalten; warum? )

Und jetzt drehe ich den Spieß um. Aus ( 2.2 ) folgt

F ( X Y ) = 1 - X Y =: A > 0     ( 2.4a )

X Y + A = 1   ( 2.4b )

und zwar A > 0  wegen der Voraussetzung ( 2.1 )

Jetzt war aber in ( 1.4c ) gesagt, die Differenz von X Y auf x y ist allerhöchstens inf; selbst wenn sie positiv ist, kann sie niemals den Wert A annehmen.