Polynomdivision bei hoch vier? oder bei noch höherem Grad Nullstellen bestimmen?

Question

Wie bestimme ich von x⁴  -2x³ -4x² +2x+3 die Nullstelle ? Wie sieht der Rechenweg aus?

Substitution geht nur wenn alle Exponenten gerade oder ungerade sind also fällt das weg.

Polynomdivision geht doch nur wenn der Exponent 3 ist. Und hier ist er 4.

Danke für Eure Hilfe!

Answer 1

Hallo Robert

Polynomdivision geht unabhängig vom Grad deines Polynoms immer, wenn du eine Nullstelle erraten kannst.

Nun musst du als Erstes schauen, ob eine der Zahlen ±1 und ±3 Nullstelle des Polynoms ist.

Du hast bestimmt mit Raten inzwischen die Nullstellen {-1, 1,3}  gefunden.

Da (-1)*1*3 = -3 und der y-Achsenabschnitt deines Polynoms + 3 ist, ist die mögliche 4. Nullstelle -1.

Also ist (-1) doppelte Nullstelle.

Nun ist natürlich keine Polynomdivision mehr nötig. Probiere diesen Weg aber unbedingt mal. Es ist eher selten, dass man von Anfang an alles schon erkennt.

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4++-2x%5E3+-4x%5E2+%2B2x%2B3

Answer 2

x^4 - 2·x^3 - 4·x^2 + 2·x + 3 = 0

Du testest die Ganzzahligen Teiler des konstanten Gliedes ob sie die Gleichung lösen. Du solltest feststellen das -1, 1 und 3 die Gleichung lösen. Also kann ich 3 mal eine Polynomdivision machen

(x^4 - 2·x^3 - 4·x^2 + 2·x + 3) / (x - 1) = x^3 - x^2 - 5·x - 3

(x^3 - x^2 - 5·x - 3) / (x + 1) = x^2 - 2·x - 3

(x^2 - 2·x - 3) / (x - 3) = x + 1

Da am Ende x + 1 heraus kommt weiß ich das x = -1 offensichtlich eine doppelte Nullstelle ist.

Comments

Eine Frage an Mathecoach: Du hast das Ergebnis aus der 1. Polynomdivision genommen und mit Hilfe dessen weiter Polynomdivisionen durchgeführt. Hätte man aber nicht bei den nachfolgenden Polynomdivisionen einfach die gleiche Nullstelle von der 1. Pd nehmen können also weiter mit dem Linearfaktor (x-1) rechnen?

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Nein, das geht nicht, denn 1 ist offenbar keine Nullstelle des Ergebnisquotienten der ersten PD durch (x-1).

Dennoch ist die Idee gut, denn wenn bei der ersten PD durch (x+1) dividiert worden wäre, so könnte man feststellen, dass x=-1 auch Nullstelle des Quotienten ist, und noch einmal durch (x+1) dividieren.

Wenn man, wie in der Antwort von Lu beschrieben, schon vorher weiß, dass x=-1 eine doppelte Nullstelle des Dividenden ist, kann man auch gleich durch x^2+2x+1=(x+1)^2 dividieren und so eine PD sparen.

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Nur habe ich leider den letzten Absatz nicht genau verstanden.. von wo kommt die  x²+2x+1 ?

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Die Nullstelle x=-1 ist eine doppelte Nullstelle des Dividenden, dieser muss also mindestens zweimal durch (x+1), also insgesamt durch (x+1)^2=x^2+2x+1 teilbar sein.