Minimale Kosten für eine Wasserleitung (Extremwert, Pythagoras)

Question

Aufgabe:

Eine Leitung soll zu einem Haus verlegt werden. Verläuft sie entlang der Straße (die 50 km Linie) kostet ein Laufmeter 165 €, im Gelände nur 120 €.

Wo muss die Abzweigung gewählt werden bzw. wie groß muss x sein, damit die Gesamtkosten minimal sind?

(Die Kilometer wurden bei mir zu Meter, da es aufs Ergebnis keine Auswirkungen hat.)

Laut Lösung sollte x ≈ 36 km sein.

Ansatz/Problem:

Egal wie oft ich es durchrechne... Ich komme einfach nicht aus richtige Ergebnis, da ich immer um ca 3 daneben liege. (Es kann kein Rundungsfehler sein - Die Zahlen wurden im Taschenrechner gespeichert.)

Answer 1

Irgendwie ist die Aufgabe unsinnig.

Wenn die Straße teurer ist als das Feld dann würde man gleich übers Feld baggern.

Erstens ist es günstiger pro Laufenden Meter und ich spare auch noch Strecke und damit wird es nochmals günstiger.

Schau also mal ob du nicht die 120 und die 165 vertauscht hast.

Bitte mal die Aufgabe genau so stellen wie sie war.

K = (50 - x)·120 + √(x^2 + 27^2)·165

K' = 15·(11·x - 8·√(x^2 + 729))/√(x^2 + 729) = 0

x = 72·√57/19 = 28.61

Comments

Auf einer Straße hat der rechte Endpunkt der Skizze den kürzesten Abstand zum Haus. Vom linken Endpunkt der Skizze soll eine Wasserleitung zum Haus verlegt werden. Die Kosten für die Verlegung betragen entlang der Straße 165€ pro Laufmeter, im Gelände nur 120€ pro Laufmeter. Wo muss die Abzweigung gewählt werden, damit die Gesamtkosten minimal sind?

-Malle Mathematik verstehen, 2011, oebv (teils zitiert, teils inhaltsgetreu wiedergegeben)

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Ok. Wie würdest du die Wasserleitung verlegen wenn es auf der Straße und auf dem Gelände 120 € kosten würde ?

Würdest du nicht dann querfeldein das Rohr durchs Gelände legen ?

Ok. Was jetzt wenn das Verlegen auf der Straße teurer ist als durch das Gelände ? Warum sollte man in dem Fall an der Straße entlang legen ?

Dann wurde zunächst der Weg weiter werden und ich hätte auch noch höhere Kosten. Die Aufgabe macht also, so wie ich sie verstehe keinen Sinn. Macht sie deiner Meinung nach Sinn?

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Nein, die Aufgabe macht wirklich keinen Sinn... Die Kosten wären parallel zur Straße nur 1-2 Meter in Richtung des Geländes viel günstiger. Aber hier wollen sie wohl das geringste Übel berechnen. Die Leitung darf nur in Form von 2 Linien verlegt werden. Die erste Linie entspricht der Straße, die zweite Linie entspringt am unbekannten Punkt am linken Ende der Linie x und endet beim Haus.

Wo liegt mein Fehler in der Berechnung? Ich habe den gleichen Rechenweg wie Sie nur 165 und 120 getauscht (so wie es unsinnigerweise im Buch stand)... Also kann es doch nur ein Rechenfehler sein.

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Wenn du mit getuschten Kosten rechnest bekommst du keine ordentliche Lösung heraus

K = (50 - x)·165 + √(x^2 + 27^2)·120 = 120·√(x^2 + 729) - 165·x + 8250

K' = 120·x/√(x^2 + 729) - 165 = 15·(8·x - 11·√(x^2 + 729))/√(x^2 + 729) = 0

8·x - 11·√(x^2 + 729) = 0 --> Keine Lösung.

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8·x - 11·√(x² + 729) = 0

8x=11*√

64x² = 121x² + 88209

-57x^2=88209

x= ca - 39

Wieso geht das nicht?

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8·x - 11·√(x² + 729)

8·39 - 11·√(39² + 729) = -209.8