Stabile Population. Wieso ist das LGS nicht lösbar? a=b=c=d=0

Question

Es ist folgende Gleichung zu lösen:

\( \left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0,5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,6 & 0,8 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \\ d \end{array}\right) \)

Aus dieser Gleichung ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

I. \( d=a \)

II. \( \quad 0,5 a=b \)

III. \( \quad 0,5 b=c \)

IV. \( \quad 0,6 c+0,8 d=d \quad \Leftrightarrow \quad 0,2 d=0,6 c \quad \Leftrightarrow \quad d=3 c \)

Mit IV. erhält man aus I. \( a=3 c \). Aus III. erhält man \( b=2 c \).

Setzt man nun in II. für \( a \) den Wert \( 3 c \) ein, erhält \( \operatorname{man} b=1,5 c \).

Es folgt also: \( a=b=c=d=0 \)

Das bedeutet, dass es für beide Gebiete keine sinnvolle Anfangspopulation gibt, die sich selbst reproduziert, sich also jährlich in ihrer Zusammensetzung nicht mehr ändert.

Ansatz/Problem:

Wie kommt man darauf? Wieso ist das LGS nicht lösbar?

Comments

Lies den Text nochmal sorgfältig durch.

Das LGS ist lösbar.

Allerdings nur mit der trivialen Lösung a=b=c=d=0.

Answer 1

d = a

0.5a = b

0.5b = c

0.6c + 0.8d = d --> 0.6c = 0.2d

Setze die erste in alle anderen ein

0.5a = b

0.5b = c

0.6c = 0.2a

Setzte wieder die erste in alle anderen ein

0.5(0.5a) = c --> 0.25a = c

0.6c = 0.2a

Setze wieder die erste in alle anderen ein

0.6(0.25a) = 0.2a --> 0.15a = 0.2a --> a = 0

Jetzt rückwärts auflösen. Damit ist alles gleich 0. Es gibt nur die Triviallösung.