Gleichung x^4+4^x=512 nach x auflösen

Question

Ich soll die Gleichung x^4+4^x=512 nach x auflösen. Die Lösung ist laut wolfram online x=4. Allerdings finde ich dazu keinen Lösungsweg mit dem ich es schaffe x zu separieren.

Ich hoffe jemand kann mir dabei unter die Arme greifen und den Lösungsweg nach alter Schule einmal aufzeigen.

Comments

Ich soll die Gleichung x⁴+4^x=512 nach x auflösen.

Wer sagt das und in welchem Zusammenhang steht die Aufgabe?
Man sieht leicht, dass die positive Lösung zwischen 3 und 5 liegen
muss und bestätigt durch Einsetzen, dass sie 4 lauten muss.

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explizit kann man nach x nicht auflösen. Man muss die Gleichung implizit mit einem Iterationsverfahren lösen.

Answer 1

Hi,
man die Gleichung auch schreiben als
$$ x^4 + 4^x = 2\cdot 4^4  $$
Daraus sieht man sofort, dass \( x = 4 \) eine Lösung sein muss.

Comments

gut erkannt. Zu der Umformung bin ich auch gekommen, hatte dann aber nicht den entscheidenden "Kreuzblick" drauf .-)

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Offensichtlicher wird es, wenn aus der \(512\)
die Termstruktur der linken Seite modelliert wird:
$$ x^4 + 4^x = 512 = 4^4 + 4^4 $$Jetzt ergibt sich \(x=4\) über einen Termvergleich.

Answer 2

Das ist eine schöne Aufgabe für den Iterationsrechner Beispiel 118

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#ZZZZZ0118  

Einfach Fx: Deine Nullstellen-Funktion eintragen: pow(x,4)+pow(4,x)-512

Startwerte mit aB[0] um 4 konvergieren auch gegen 4.

Einige Aufgabensteller "sehen" auch nur diese Lösung.

Für Leute wie mich ( ich stehe auf Filme wie https://de.wikipedia.org/wiki/Contact_(1997) , wo im Radiosignal noch weitere (und weitere...) Informationen gefunden wurden ) geht’s erst richtig los:

Startwerte um -5 konvergieren gegen eine Konstante, die selbst mir (und 3 weitere LINKs) unbekannt ist

(und ich kenne über 1 Mio konstanten mit je über 1000 Stellen).

Gerade rechne ich 30000 Nachkommastellen aus ... mal sehen, was sich noch alles dahinter versteckt :-)

Comments

Hi, ich glaube ich versteh Dich nicht richtig. Aber es gibt genau zwei Lösungen, eine für \( x > 0 \) und eine für \( x < 0 \) Die für \( x > 0 \) haben wir geraten, dass ist \( x = 4 \) und für die negative Lösung muss man ein Iterationsverfahren anwenden.

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für die meisten reicht x2=-4,75683...

(das könnte auch auf ein Bruch zutreffen) aber ich sehe mehr:

Noch mehr & größer mit Häufigkeitsverteilung : letzte Bild in/auf  http://www.gerdlamprecht.de/MathematischeKonstanten3D.html

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Ich versteh das immer noch nicht. Kannst Du das Bild vielleicht ein wenig erklären, was damit gemeint ist. Würde mich sehr freuen.

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http://www.gerdlamprecht.de/warum14Nachkommastellen-nicht-reichen.html 

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Im 1. LINK war ein Leerzeichen, hier 2. Versuch:

http://www.gerdlamprecht.de/warum14Nachkommastellen-nicht-reichen.html

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Hi, ich glaube jetzt habe ich verstanden was Du meinst. Du suchst nach numerischen Lösungen mit einer sehr hohen Genauigkeit. Ich dachte Du hättest nach mehreren verschiedenen Lösungen gesucht. Obwohl man natürlich auch zwei numerisch unterschiedliche Zahlen als verschiedene Lösungen interpretieren könnte. Ich hatte einen anderen Ansatz. Ich wollte grundsätzlich die maximale Anzahl der Lösungen bestimmen ohne die konkrete Berechnung. Aus der Form der Kurve sieht man, dass es genau zwei gibt. Die numerische Bestimmung ist dabei nicht von Interesse.

Das man in numerischen Lösungen allerhand vermuten kann, sieht man an der Zahl \( \pi \). Bekannt ist ja, dass z.B. in den Nachkommastellen von \( \pi \) jede beliebige Zahlenfolge gefunden werden kann, bzw. es ist eine Vermutung, s. hier

http://www.scinexx.de/dossier-detail-389-6.html

Aber trotzdem gibt es theoretisch nur genau zwei Lösungen die aber, da gebe ich Dir recht, nie genau berechnet werden können.

Allerdings muss man auch aufpassen, normale Computer lassen ja eine Genauigkeit von mehr als 20 Stellen oder so ähnlich, gar nicht zu.

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Die FPU (früher Co-Prozessor heute in CPU) rechnet intern mit 80 Bit, was im Idealfall etwa 19 bis 20 Stellen ausmacht.

Genaue Untersuchungen zeigen jedoch, dass bei einigen Befehlen und Argumenten extreme Ungenauigkeit vorherrscht: http://www.gerdlamprecht.de/GrobeFPU_Fehler.htm

Genau deshalb habe ich meine eigenen optimierten Programme.

(wissenschaftlich gesehen muss man zu jeder Berechnung eine Validierungsberechnung starten: anderer Algorithmus und andere Software, um Fehler auszuschließen)

Answer 3

512 ist eine Zweierpotenz, die dir anscheinend sofort ins Auge stechen sollte.

512 = 2^9 = 2*2^8 = 2*4^4

nun vergleiche

4^x + x^4  = 2*4^4

==> x= 4

Wegen der u-Form von f(x) = 4^x + x^4, gibt es aber noch eine negative Lösung deiner Gleichung.

Die solltest du wohl mit einem Näherungsverfahren bestimmen.

Kontrolle und Graph: aus https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+%2B+4%5Ex+%3D+512