Vereinung und Schnitt von kompakten Mengen. Aussagen auf Richtigkeit zu untersuchen?

Question

Bräuchte hilfe hier Zu zeigen, dass diese Mengen kompakt oder nicht sind.

Komm da nicht ganz zurecht da, es ein metrischer Raum ist.

Seien \( (M, d) \) ein metrischer Raum,  \( K,  K_{n} \subset M, n \in \mathbb{N}, \) kompakte Mengen und \( A \subset M \) eine abgeschlossene Menge.

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

(i) \( K \cap A \) ist kompakt;

(ii) \( K \cup A \) ist kompukt;

(iii) \( K \cup A \) ist abgeschlossen;

(iv) \( \bigcap_{n=1}^{\infty} K_{n} \) ist kompakt;

(v) \( U_{n=1}^{5} K_{n} \) ist kompakt

(vi) \( \bigcup_{n=1}^{\infty} K_{n} \) ist kompakt.

Answer 1

Ich hoffe ich schaffe es.

i)   ja. Jede Teilmenge einer kompakten Menge ist selber kompakt.

ii) i.A. nicht. Gegenbeispiel: K = kompakt , A = M = R ²

iii) ja. Die Vereinigung von ZWEI abgeschlossenen Mengen ist laut topologischer Axiomatik immer abgeschlossen.

iv )  ja. ist ja Teilmenge von K1 und als solche kompakt.

v) ja . eine triviale Endlichkeitsaussage.

vi) i.A. nein. Gegenbeispiel.

K ( n ) := [ 0 ; n ]     ( 1 )

Damit wäre die Frage eigentlich beantwortet; die Frage, " warum " eine Aussage falsch ist, hat ja so gar keinen Sinn.

Aber mal so ins Unreine gedacht; eine Verallgemeinerung der vollständigen Induktion ist doch die ===> transfinite Induktion ( in wiki wunderbar erklärt. ) Das geht erst mal wie die normale Induktion auch; der Schluss von n auf n + 1 . Aber etwas Zweites hast du zu zeigen; w ist ja die erste ===> Grenzzahl . I ( w ) würde demnach seine sämtlichen Vorgängerintervalle enthalten. Und du hast zu zeigen, dass die Aussage für w wahr ist voraus gesetzt, das sie für alle n wahr ist. Genau diese Allaussage geben die topologischen Axiome aber nicht her.

Comments

Teilmengen kompakter Mengen müssen nicht kompakt sein. D.h. deine Begründungen zu (i) und (iv) passen nicht.

Answer 2

Also ich würde sagen bei 1. und 2., dass wenn A beschränkt ist, dann ist es auch kompakt. Wenn A nicht beschränkt ist, dann kann es kompakt sein, muss aber nicht.

Comments

Also ich bin jetzt nicht so der Fachmann vom Dienst. Aber ein Kollege, Ingenieur aus Darmstadt, staunte nicht schlecht, dass so Leute wie wir Physiker topologische Kenntnisse besitzen. Und da vermachte er mir ein Skript über metrische Räume ( Trebels-Petschke )

Dieses Interesse war bei mir angestoßen, weil ich auf dem Edward-Nelson-Trip bin ===> ( NSA ; IST ) ( z.B. das Lehrbuch von Alain robert bei Wiley )

Und aus dem Skript meines Kollegen ersehe ich eben reinzufällig, dass es sich genau umgekehrt verhält: Kompaktheit ist mehr als Beschränktheit.

In dem Skript wird so'ne Art " Unendlichtupel " eingeführt

( x1 | x2 | x3 | x4 ... ( ganz viele )     ( 1 )

Zugelassen sind quasi alle Koordinaten in dem Raum, für welche die Summe der Quadrate ( absolut ) konfvergiert und diese ( eventuell unendliche ) Reihe Eins ergibt. Zweifel los Abgeschlossen und beschränkt.

Eine Folge, die keine konvergente Teilfolge besitzt. Setze alle Koordinaten auf Null, nur in a ( n ) steht an der n-ten Stelle eine Eins. 

a1 = ( 1 | 0 | 0 ... )  ; a2 = ( 0 | 1 | 0 ... )   ...     ( 2 )

d.h. wenn du dir aus der a < n > eine beliebige Teilfolge b < n > schnitzt. Dann bleibt der größte Abstand zwischen zwei folgengliedern immer noch sqr ( 2 ) ; nie in se Leben kann das eine Cauchyfolge sein ...