Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale ohne Verwendung eines Taschenrechners.

Question

Aufgabe:

1. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale ohne Verwendung eines Taschenrechners:

(a) \( \int \limits_{0}^{2} \exp (2 x-4) d x \)

(b) \( \int \limits_{-1 / 3}^{5} \sqrt{3 x+10} d x \)

(c) \( \int \limits_{0}^{e-1}(e-1-x)(1+x)^{-1} d x \)

(d) \( \int \limits_{0}^{1}(3 x-2)\left(3 x^{2}-4 x+11\right)^{-1} d x \)

(e) \( \int \limits_{2}^{3}\left(x^{2}+3 x-7\right) \exp (x) d x \)

(f) \( \int \limits_{-\pi / 2}^{0} \cos ^{2}(x) \sin (x) d x \)

(g) \( \int \limits_{0}^{1}\left(e^{v-1}-4 \cos (2 \pi x)\right) d x \)

(h) \( \int \limits_{1}^{4}\left(4 \cos ^{2}(-\pi x)+4 \sin ^{2}(-\pi x) d x\right. \)

(i) \( \int \limits_{1 / 2}^{1}(4 x-1)^{-1 / 2} d x \)

(j) \( \int \limits_{3}^{8} x \sqrt{x+1} d x \)

(k) \( \int \limits_{-1}^{1} e^{-|\boldsymbol{a}|} d x \) (Hinweis: Spalten Sie das Integral in zwei Teilintegrale auf, in denen Sie den Integranden ohne Betragsfunktion darstellen und integrieren können.)

2. Berechnen Sie das Integral

\( \int \limits_{0}^{x / 2} \cos ^{5}(x) d x \)

mit Hilfe der Substitution \( y=\sin (x) \), nachdem Sie \( \cos ^{4}(x) \) durch \( \left(1-\sin ^{2}(x)\right)^{2} \) ersetzt haben.

Comments

Schau mal zum Beispiel hier: (da es sich um Basis-Schulwissen für die Oberstufe handelt gibt es immer Internet mehr als genug Seiten die das Verfahren erklären):

http://matheguru.com/1-integration-durch-substitution.html

und versuch dich an den ersten Aufgaben von 1. Wenn du konkrete Fragen hast kann dir besser geholfen werden. 

Edit: anderer Link, da die Erklärung beim vorigen nicht sonderlich gut war.

Answer 1

Ich Teile mir die Arbeit immer in 2 Schritte

1. Ich suche eine Stammfunktion die Abgeleitet meine zu integrierende Funktion ergibt. Da eine beliebige Funktion auslang lasse ich die Integrationskonstante + c weg.

∫ f(x) = F(x) + c = F(x)

2. Ich bilde das bestimmte Integral über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

∫ (a bis b) f(x) = F(b) - F(a)

a) 

F(x) = ∫ e^{2·x - 4} dx = 1/2·e^{2·x - 4}

F(2) - F(0) = (1/2·e^{2·2 - 4}) - (1/2·e^{2·0 - 4}) = 1/2 - 1/(2·e^4)

b)

F(x) = ∫ (3·x + 10)^{1/2} dx = 2/3·(3·x + 10)^{3/2}·1/3 = 2/9·(3·x + 10)^{3/2} 

F(5) - F(-1/3) = (2/9·(3·5 + 10)^{3/2}) - (2/9·(3·(-1/3) + 10)^{3/2}) = 196/9

Bei der Suche nach einer Stammfunktion kann Wolframalpha fürs Handy behilflich sein. Die App gibt oft Schritt für Schritt Lösungen an. Beim Ausrechnen darf man um sich selbst zu kontrollieren auch den TR verwenden.

Comments

Wieso hast du denn zum Beispiel (2x -4) hoch gesetzt ?

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exp(x) ist die Exponentialfunktion e^x

Wenn man eine Schreibmaschine nutzt, dann schreibt man exp(x). Hat man einen Computer kann man das auch anders schreiben.

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ich hab jetzt die anderen aufgaben berechnet aber ich hab leider die aufgabe f , g ,h i und k nicht gelöst bekommen wie komm ich da weiter bitte helfen

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f) habe ich mal als eigenständige Frage eingestellt und beantwortet.

https://www.mathelounge.de/235415/integral-%E2%88%AB-cos-x-2-sin-x-dx

g)

sollte recht einfach sein. Integrier beide Summanden für sich.

h) 

nutze SIN(x)^2 = 1/2 - 1/2 * COS(2x)

nutze COS(x)^2 = 1/2 + 1/2 * COS(2x)

i)

ist wieder recht einfach. die innere ableitung ist ja einfach 4.

k)

Benutze die Anregung das integral in 2 Teilintegrale zu spalten.

PS: Wolfram Alpha liefert dir denke ich für alle Integrale hier eine Schritt für Schritt Lösung.

Answer 2

    Punkt 2 find ich nett; ich scheine der " Einzigste " zu sein, der diese Methode benutzt, um die Potenzen von Winkelfunktionen zu entwickeln. Dein sog. " Hinweis " dreht sich ja auch nur dauernd im Kreis. Hier kennste den?

   " Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "

     a := exp ( i x )   ( 1a )

     b := exp ( - i x )   ( 1b )

     Aus dem ===> Eulersatz folgt, bzw. im Bronstein steht

       cos ( x ) = 1/2 ( a + b )   ( 2 )

      Wenn wir das in die 5. Potenz erheben, müssen wir zweierlei beachten: Erstens den ===> binomischen Lehrsatz mit seinen ===> Binominalkoeffizienten ( BK )

       ( 5 0 ) = ( 5 5 ) = 1 ; ( 5 1 ) = ( 5 4 ) = 5 ; ( 5 2 ) = ( 5 3 ) = 10    ( 3 )

     so wie natürlich eine Konsequenz aus ( 1ab )

      a b = 1   ( 3 )

       Bitte darauf achten, dass ihr ( komplex konjugierte ) Terme mit gleichen BK zusammen stellt, weil ja hinterher alles wieder reell heraus kommen soll:

   cos ^ 5 ( x ) = ( 1/2 ^ 5 )  [ a ^ 5 + b ^ 5 + 5 ( a ³ + b ³ ) + 10 ( a + b ) ]  = ( 4a )

                     = 1/16 cos ( 5 x ) + 5/16 cos ( 3 x ) + 5/8 cos ( x )   ( 4b )

     Effektiv ist ( 5b ) die Fourierentwicklung von cos ^ 5 . Naa; ist das immer noch schwerzu integrieren?

Comments

was hast du angerichtet ... bei den zahlen komm ich einfach nicht klar