In welche Richtung wächst diese Funktion am stärksten vom Punkt aus? Kettenregel mehrdimensional.

Question

Aufgabe:

Es sei \( f:] 0, \infty[\times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch

\( f(x, y, z)=x^{2+\sin (y z)} \)

In welche Richtung wächst diese Funktion am stärksten vom Punkt \( \left(1, \frac{\pi}{2},-1\right) \) aus?

In welche Richtung fällt diese Funktion am stärksten vom Punkt \( \left(1, \frac{\pi}{2},-1\right) \) aus?

Ansatz/Problem:

Ich würde dafür den Gradienten berechnen, dazu brauche ich ja die partiellen Ableitungen der Funktion. Für x kriege ich das auch hin, bei y und z habe ich leider Schwierigkeiten.

Comments

f(x, y, z) = x^{2 + SIN[y·z]}

df/dx = x^{SIN[y·z] + 1}·(SIN(y·z) + 2)

df/dy = z·x^{SIN[y·z] + 2}·LN(x)·COS(y·z)

df/dz = y·x^{SIN[y·z] + 2}·LN(x)·COS(y·z)

Wolframalpha fürs Smartphone gibt da sicher auch eine Schritt für Schritt Lösung an. Aber vielleicht kommst du auch selber darauf.

Answer 1

$$f=x^{2+g(y)} \Rightarrow f_y=\frac{\partial{f}}{\partial{g}}\frac{\partial{g}}{\partial{y}}$$

$$f_y(x,y,z)=\left( x^{2+\sin (yz)} \log x \right) \left( \cos (yz) z\right) $$

Hast du den Weg verstanden? Kannst du die Ableitung bei z finden?