Flächeninhalt zwischen y-Achse, Graph und Gerade bestimmen

Question

komme einfach bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie den Flächeninhalt, die von der y-Achse, dem Graphen der Funktion f(x) und der Geraden y(x) eingeschlossen wird.

f(x) = 2x^3-x^2/2+6x-16

Gerade y(x) = -x+12

Danke und Grüße

Answer 1

~plot~2*x^3-x^2/2+6*x-16; -x+12;[[-0,2|2,3|-17|13]]~plot~ Hier siehst du die y-Achse und die beiden Graphen. Bei solchen Aufgaben immer am besten erst zeichnen lassen.

Jetzt musst du dir nur noch überlegen wie du den Flächeninhalt ausrechnest. Ich würde zuerst schauen, wo sich f und y schneiden. Dann integrierst du y von 0 bis zu der Schnittstelle. Damit hast du schon mal den Flächeninhalt unter y. Jetzt guckst du noch wo f die x-Achse schneidet und integrierst f dann von dieser Stelle bis zur Schnittstelle mit y und ziehst diesen Flächeninhalt ab. Nun hast du bereits den Flächeninhalt oberhalb der x-Achse. Für den Anteil unter der x-Achse integrierst du einfach f von 0 bis zur Schnittstelle mit der x-Achse. Beachte beim addieren der beiden Flächeninhalte, dass du für den Flächeninhalt unter der x-Achse einen negativen Wert erhältst. Diesen darfst du einfach in positiv ändern.

Comments

Danke, soweit habe ich es mir auch schon überlegt, aber den konkreten Anfang, da steh ich nach wie vor auf den Schlauch...

Gruß

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Könnte man hier nicht auch die Differenzfunktion g(x)-f(x) bilden und diese dann integrieren? Dann müsste man nur einmal integrieren...

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Ja das stimmt, das hatte ich ganz vergessen. Man kann natürlich auch (f-y) von 0 bis zur Schnittstelle integrieren. Mit welchem Anfang stehst du auf dem Schlauch?$$f-y=2x^3-0.5 x^2+6x-16 - (-x+12)=2x^3-0.5x^2+7x-28$$ $$\int (2x^3-0.5x^2+7x-28)dx = 0.5x^4-\frac{1}{6}x^3+3.5x^2-28x$$Jetzt musst du halt noch die Schnittstelle der beiden Funktionen finden (Gleichsetzen und nach x auflösen) und dann halt von 0 bis zu dieser Stelle integrieren.

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Vielen Dank für die schnellen Antworten, bei der Schnittstelle von f und y hab ich den Punkt (2/10), welcher sich auch am Graphen bestätigt, so, und jetzt hapert es schon wieder. Muss ich die Differenzfunktion von 10 nach 2 integrieren oder andersrum oder von 0 nach 2? Sry für die vielen Fragen, aber Integralrechnung liegt mir anscheinend nicht so..

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Ich würde direkt y-f rechnen, dann wird die Fläche nach dem integrieren positiv. Der Schnittpunkt ist recht offensichtlich (2/10).

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Da du die Fläche ausrechnen sollst, die von den Graphen und der y-Achse eingeschlossen wird, integrierst du zwischen 0 und 2.

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Du musst von der linken bis zur rechten Seite deiner Fläche integrieren, also von 0 bis 2:$$\int_0^2 (2x^3-0.5x^2+7x-28 )dx=[0.5x^4-1/6x^3+3.5x^2-28x]_0^2 \\ =0.5 \cdot 2^4-1/6 \cdot 2^3+3.5 \cdot 2^2-28 \cdot 2 - (0.5 \cdot 0^4-1/6 \cdot 0^3+3.5 \cdot 0^2-28 \cdot 0) \\ = -35 \frac{1}{3}$$Also ist der Flächeninhalt 35,33... groß.

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Alles klar, das Ergebnis, welches ich raus habe, ist laut Lösungsbuch richtig.

Danke euch allen!

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und stimmt auch mit dem von Yukawah überein ;)