Zeige lim(x,y)→(0,0) x2 + x2y2 + y2/x2 + y2=1

Question

Zeigen Sie lim _{(x,y)→(0,0)}         x2 + x2y2 + y2/x2 + y2= 1.

Berechne die Grenzwerte lim _x→0+ ( lim _y→0+x^y)

und lim _y→0+ (lim _x→0+ x^y)

und skizzieren Sie den Weg, den die Punkte ( x,y) bei Übergang zu den vorangegangenen Grenzwerten nehmen.

Comments

Es fehlen Caret-Zeichen und vermutlich auch Klammern.

Answer 1

bei der 2. Aufgabe ist es wohl so:

sei x >0 dann ist lim ( y gegen 0+) von x^y    gleich 1,

weil für positives x der Term x⁰ den Wert 1 hat.

sei hingegen y>0 dann ist lim ( x gegen 0+) von x^y    gleich 0

weil 0^y für positives y den Wert 0 hat.

Answer 2

Zeigen Sie lim _{(x,y)→(0,0)}         x2 + x2y2 + y2/x2 + y2= 1.

x^2 + x^2 * y^2 + y^2 / x^2 + y^2 = 1
0 - 0 * 0 + 0 / 0 + 0 = 1
reduziert sich zu
lim ( x,y ) −> (0,0)  [  y^2 / x^2 ]
Ein Fall für l´Hospital
( y^2 ) ´/ ( x^2 ) ´ = 2 * y / ( 2 * x ) = y / x
nocheinmal
lim ( x,y ) −> (0,0)  [  y / x  ]
y ´ / x ´ = 1 / 1 = 1

Comments

"reduziert sich zu
lim ( x,y ) −> (0,0)  [  y² / x² ]"

Wieso?

Und die Anwendung von l'Hospital auf diesen Grenzwert dürfte auch nicht so einfach funktionieren.

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Achso, jetzt verstehe ich: Ich habe in die Aufgabenstellung Klammern reininterpretiert, wo gar keine standen; wohl, weil es leider Standard ist, dass man Klammern einfach weglässt, und weil \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2+x^2y^2+y^2}{x^2+y^2}=1\) richtig ist; im Gegensatz zu \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} x^2+x^2y^2+\frac{y^2}{x^2}+y^2=1\), das ist falsch.

Der Grenzwert \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y^2}{x^2}\)existiert übrigens gar nicht.