Ich substituiere
r ² := x ² + y ² ( 1a )
F ( r ) := r exp ( - r ² ) ( 1b )
Es erweist sich jedoch als entscheidend wichtig, wovon wir reden. Da F nicht negativ werden kann, besitzt es bei r = 0 mit Sicherheit sein absolutes Minimum; besitzt es dort auch ein lokales? Das hängt jetzt davon ab, wie du ( 1b ) liest. Als ganz ( transzendente ) Funktion z = F ( x ; y ) in den beiden Veränderlichen x und y ist F überall auf |R ² definiert, und diese Ebene besteht nur aus inneren Punkten. Andererseits kannst du r > = 0 auch auffassen als Abszisse einer Funktion y = F ( r ) in einer Variablen. An sich nimmt die ebene Kurve F ( r ) alle lokalen Extrema an, die auch das Gebirge F ( x ; y ) hat - mit einer Ausnahme: dem Ursprung. Der ist bei der Kurve nämlich bloß Randpunkt.
Grobskizze von ( 1b ) Für r ===> ( + °° ) verebbt der Graf von F in ( + 0 ) , weil die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt. Wir erwarten
0 < r ( max ) < r ( w ) ( 2 )
Wir differenzieren ( 1b ) logaritmisch; das funktioniert aber nur für r > 0 ( warum? )
ln ( y ) = ln ( r ) - r ² ( 3a )
y ' / y = 0 = 1 / r - 2 r =====> r ( max ) = 1 / sqr ( 2 ) ( 3b )
In dem ursprünglichen zweidimensionalen Gebirge musst du nur von der Kettenregel her beachten
( dr/dx ) = cos ( ß ) ; ( dr/dy ) = sin ( ß ) ( 4a )
F_x = [ cos ( ß ) - 2 r x ] exp ( - r ² ) = 0 ( 4b )
F_y = [ sin ( ß ) sin ( ß ) - 2 r y ] exp ( - r ² ) = 0 ( 4c )
in Übereinstimmung mit ( 3b ) Alle Maxima liegen demnach auf einem Kreis mit Radius r ( max ) Davon, dass der Ursprung stationärer Punkt sei, ist überhaupt nicht die Rede. Im Gegentum; hier passiert die ultimative Katastrofe:
grad ( F ) ( 0 | 0 ) = [ cos ( ß ) | sin ( ß ) ] ( 5 )
Du kannst nicht zulassen, dass der Gradient von der Polarkoordinate abhängt. Der Grenzwert an der kritischen Stelle hängt wesentlich davon ab, von welcher Richtung du dich näherst ===> wesentliche singularität. Wenn du das plottest, wirkt das immer so wie ein kalbender Gletscher.
Unsere Kriterien sind nur hinreichend, nicht notwendig. Sie setzen z.B. gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften an der kritischen Stelle voraus, die hier einfach nicht gegeben sind.
Was ich schon oft mit Erfolg versucht habe; durch den kritischen Punkt eine Gerade legen und schauen, was passiert.
x := ß t ( 6a )
y := µ t ( 6b )
F [ x ( t ) ; y ( t ) ] = | t | sqr ( ß ² + µ ² ) exp - ( ß ² + µ ² ) t ² ( 7 )
Mein Chef hatte " als " so schräge Sprüche drauf:
" Man kann sich drehen und wenden, wie man will - der Popo ist immer hinten. "
Nimm einen Strahl ( 6ab ) der im ersten Quadranten verläuft. Natürlich kannst du diesen in den 4. Quadranten verlängern mit t < 0 ; aber die Betragsfunktion in ( 7 ) ist nicht differenzierbar. Es hindert dich aber auch nichts, den negativen Strahl mit einem negativen Richtungsvektor bzw. positivem t zu beschreiben. Dannallerdings wird das Extrtemum im Ursprung zum Randpunkt; und für Randpunkte sind unsere Ableitungsregeln überhaupt nicht notwendig.
