Quadrierte Wurzel = Vorzeichenumkehr innerhalb der Diskriminante?

Question

Folgende Situation:

\( \frac{1}{a^{2}-\sqrt{a^{2}-2}^{2}}=\frac{1}{a^{2}-a^{2}-2} \)

Ist das so richtig?

Wie haben eine quadrierte Wurzel, das Quadrat und die Wurzel kürzen sich ja weg, allerdings wurde ich draufhin gewiesen, dass sich das Vorzeichen innerhalb der Diskriminante ändern würde, simmt das?

Wird aus -2 dann +2?

Und wie sieht es wegen dem Vorzeichen von a^2 innerhalb der Diskriminante aus?

Müsste sich das Vorzeichen da nicht auch ändern?

Answer 1

Hier die Zusammenfassung der Diskussionen

Hinweis : beim Auflösen der Klammer ändern sich die Vorzeichen.

Answer 2

Nein, das ist nicht richtig. Außerdem führt der Hinweis in die Irre und eine Diskriminante sehe ich hier nirgends, sondern allenfalls einen Radikanden. Richtig wäre:
$$ \frac { 1 }{ a^2 - \left(\sqrt { a^2-2 }\right)^2 } = \frac { 1 }{ a^2 - \left| a^2-2 \right| }$$

Comments

Entschuldigung wegen der Verwirrung!

mmh...okay also nach dem entfernen der Wurzel bleibt also eine Klammer um den Term stehen?

Damit hat sich die Frage beantwortet.

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Oh nein, keine Klammer. Das sind Betragsstriche! von dem Ausdruck dazwischen darf nur die positive Variante verwendet werden!

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Deine Antwort bezüglich

[ √ ( a^2 - 2 ) ]^2  = | a^2 - 2 |

dürfte nicht stimmen

a = 0

[ √ ( 0 - 2 ) ]^2  = - 2

| a^2 - 2 | = + 2

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Das musst du mal erklären.

Inwiefern ist denn

[√(-2)]² = -2 ???

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Gerne.

Zuvor : was stimmen dürfte ist

√ ( a² - 2 )²  = | a² - 2 |
( das Quadrat ist in der Wurzel )

Ich kenne mich mit komplexen Zahlen zwar nicht oder nur wenig aus aber

√ ( - 2 )  = √ 2   * √ -1   =  √ 2   * i 

( √ 2   * i  ) ^2 = ( √ 2 )^2   * ( i )^2 = 2 * ( -1 ) = - 2

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Ich bin mir nicht sicher, ob komplexe Zahlen hier eine Rolle spielen.

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So, ich habe mich vertan und übersehen, dass die Quadratwurzel quadriert wird und nicht umgekehrt. Damit sind nach dem Auflösen die Betragsklammern entbehrlich, da das Betragsargument als ehemaliger Radikand nicht negativ sein darf. Stattdessen sind hier runde Klammern und die Angabe des Definitionsbereichs geboten. Richtig ist also:
$$ \frac { 1 }{ a^2 - \left(\sqrt { a^2-2 }\right)^2 } = \frac { 1 }{ a^2 - \left( a^2-2 \right) } = \frac 12 \quad\land\quad \left|a\right|\ge\sqrt{2}.$$

(Für gewöhnlich weiß ich dies und achte darauf, hier
habe ich es übersehen. Dankeschön für die Hinweise!)