Nilpotenter Endomorphismus: Äquivalenz von Aussagen beweisen

Question

Seien K ein Körper und f: V → V ein nilpotenter K-linearer Endomorphismus des endlich dimensionalen K-Vektorraums V. Zeigen Sie, die folgenden Aussagen sind äquivalent

a) V besitzt eine Eigenbasis bezüglich f.

b) Eine Matrix von f ist eine direkte Summe von Jordan-Blöcken des Typs 1x1.

c) f ist die Null-Abbildung.

Comments

Also zunächst mal zum Vorgehen, du musst ja hier Äquivalenzen zeigen, das heißt eine ganze Menge von Folgepfeilen.

Ich würde vorschlagen a)⇒c)⇒b)⇒a)

Und dann denke mal allgemein darüber nach welche Eigenwerte ein nilpotenter Endomorphismus haben kann.

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also ich weiß, dass ein nilpotenter endomorphismus nur die null als eigenwert haben kann...

aber ich komm mit dem begriff eigenbasis nicht so klar... woher weiss ich denn welche basis der hat?

wenn man von a)nachc) beweist heißt dass dann, dass das die nullabbildung ist weil der endomorphismus nur die null als eigenwert haben kann?

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Nein, das heißt es noch nicht. Einen Moment, ich formulier von a)⇒c) mal kurz als Antwort.

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Ok danke.

also von c) nach b) würde ich sagen:

da f die nullabbildung ist und somit alles auf die Null abbildet und zudem f nilpotent ist, ist der eigenwerten ja Null. Und die jordanblöcke zum eigenwerten Null sind dann auch nilpotent.

der rang einer beliebigen Matrix wäre für rk(Id) = n

Der rang müsste für alle anderen 0, (vielleicht wegen weil f die nullabbildung ist.) sein, damit ich beliebig viel Blöcke der Gestalt 1x1 bekomme...

und dann kann man das vielleicht als direkte Summe schreiben

 

Oder???

Answer 1

a) ⇒ c):

Sei f: V → V ein nilpotent und V besitze eine Eigenbasis bezüglich f.

Das heißt V besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von f.

f hat als einzigen Eigenwert die 0.

Daraus folgt, V besitzt eine Basis aus Vektoren v1,...,vn für die jeweils gilt: f(vi)=0*vi=0 für alle i.

Wenn f aber jeden Basisvektor auf die Null abbildet, so bildet f jeden Vektor aus V auf die Null ab.

und damit  ist f die Null-Abbildung, was gerade Aussage c) war.

Comments

wie beweist man denn c)⇒b) und b)⇒a)?

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Ok danke.

also von c) nach b) würde ich sagen:

da f die nullabbildung ist und somit alles auf die Null abbildet und zudem f nilpotent ist, ist der eigenwerten ja Null. Und die jordanblöcke zum eigenwerten Null sind dann auch nilpotent.

der rang einer beliebigen Matrix wäre für rk(Id) = n

Der rang müsste für alle anderen 0, (vielleicht wegen weil f die nullabbildung ist.) sein, damit ich beliebig viel Blöcke der Gestalt 1x1 bekomme...

und dann kann man das vielleicht als direkte Summe schreiben

Oder???