Funktionen: Monotonie. g1(x) = (x^2-1)/(x^2+1)

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf (strenge) Monotonie. Bestimmen Sie im Falle der Existenz der Umkehrfunktion diese sowohl graphisch als auch rechnerisch.

(i) \( g_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; g_{1}(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} \)

(ii) \( [-1 ; 1] \rightarrow \mathbb{R} ; g_{2}(x)=\left\{\begin{array}{ll}3-x & x \geq 0 \\ 1-x & x<0\end{array}\right. \)

(iii) \( \quad \sin :\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right] \rightarrow[-1 ; 1] \)

Comments

Da du die Funktionen ja eh zeichnen müsstest für die Umkehrfunktion, kannst du damit ja mal anfangen. Dann solltest du auch schon die Monotonie eventuell rein optisch bestimmen können.

Du weißt wie du eine Funktion grafisch zeichnen kannst?

Answer 1

Meine Überlegungen für die erste Aufgabe

Graph der Funktion

~plot~ ( x^2 - 1 ) / ( x^2 + 1 ) ; [[ -1 | 2 | -1 | 2 ]] ~plot~

Graph der Umkehrfunktion

~plot~ sqrt( (-1-x)/(x-1)) ; - sqrt( (-1-x)/(x-1)) ; [[ -1 | 2 | -1 | 4 ]] ~plot~

mfg

Comments

Die Funktion \(g_1\) (die du \(f\) genannt hast) ist nicht umkehrbar. Das, was du gemacht hast, ist die Funktion auf die Intervalle \((-\infty,0]\) und \([0,\infty)\) einzuschränken und auf jedem Teilintervall die Umkehrfunktion zu bestimmen. Das war aber gar nicht gefragt. Es genügt also, zu sagen: Die Funktion ist nicht umkehrbar.

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Hier zunächst der Graph der Funktion

Beide Teilfunktionen sind streng monoton fallend.

Fallende Monotonie :
x1 < x2 => f ( x1 ) > f ( x2 )

Dies ist für die Gesamt-Funktion nicht gegeben.

-0.1 < 0.1 : f ( -0.1 ) >  f ( 0.1 )  : 1.1 > 3.1  falsch

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Hier der genauere Graph der Funktion im Def-Bereich [ -1 ; 1 ]

Die Funktion ist im angegeben Def-Bereich umkehrbar.

Funktion y = f ( x )

Umkehrbarkeit :

Jedem y ist nur ein x zugeordnet. Dies ist gegeben.

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Da muss ich dir leider nochmal widersprechen: \(g_2\) ist nicht invertierbar. Damit sie invertierbar wäre, müsste es zu jedem \(y\in\mathbb{R}\) genau ein \(x\in[-1,1]\) geben mit \(g_2(x)=y\). Das ist hier nicht gegeben.

Dagegen ist die Funktion \(f:[-1,1]\to(1,3], f(x)=\begin{cases}1-x,\quad x<0\\3-x,\quad x\geq 0\end{cases}\) umkehrbar.