Wertpapieranalyst Schnellreich und die Aktienkurse. y(x) = b*ln(x2 + a)

Question

Aufgabe:

Der Wertpapieranalyst Schnellreich glaubt, dass die Aktienkurse einer bestimmten Branche gemäß der Funktion $y(x)=b \cdot \ln \left(x^{2}+a\right)$ mit $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}^{+}$und $\mathrm{x}$ in Jahren wachsen. Skizziere für beliebige realistische Werte für a und b den Verlauf der Kurve. Berechne die Funktionsgleichung, wenn der erwartete Kursverlauf speziell die ersten beiden Jahre progressiv mit bis zu $25 \%$ wächst, danach nur mehr degressiv.

Herr Schellreich möchte die Aktien wieder verkaufen, sobald der momentane Kursanstieg auf $10 \%$ sinkt. Zu welchem Zeitpunkt ist dies der Fall? Auf das Wievielfache des Einkaufskurses ist der Kurs dann angestiegen und wie viel Prozent Gewinn hat er gemacht?

Veranschauliche deine Überlegungen in einem Graphen.

Answer 1

f ( x ) = b * ln ( x^2 + a )

a = 1
b = 1

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f₁(x) = 1·ln(x²+1)

Comments

Der Anfangskurs muß > 0 sein sonst hätte Herr Schnellreich
die Aktien für 0 € erwerben können.
Also muß x^2 + a > 1 sein, denn ln(1) = 0.
x fängt bei 0 deshabl muß a > 1 sein
realistische Bedungungen
( a > 1 ) und ( b > 0 ) ergibt einen Einstiegswert > 0

Bei x = 2 Jahre ist ein Wendepunkt.

f ´( x ) = b / ( x^2 + a ) * 2 * x
f ´( x ) = 2 * x * b / ( x^2 + a )
f ´´( x ) = 2 * b * ( a - x^2 ) / ( x^2 + a )^2

f´( 2 ) = 25
f ´´( 2 ) = 0

Es ergibt sich
a = 4
b = 50

f ( x ) = 50 * ln ( x^2 + 4 )

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f₁(x) =  50·ln(x²+4)Zoom: x(0…10) y(0…250)

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Kursanstieg = 10 %

f ´( x ) = 2 * x * b / ( x² + a )
f ´( x ) = 2 * x * 50 / ( x² + 4 )

f ´( x ) = 10
x = 9.58 Jahre

f ( 0 ) = 69.31
f ( 9.58 ) =  228.10

228.10 / 69.31 = 3.2910
Das Wievielfache beträgt 3.2910.

Der Gewinn beträgt  229 %

Zur Diskussion gestellt :
Stimmen meine Überlegungen ?
Durch die Vorgaben ergibt sich ein eindeutiges a und b.
Stimmt das ?
Dann ergibt es auch nur einen eindeutiger Einkaufspreis der Aktie
von 69.31.
Die Berechnungen sollten aber für andere Einkaufspreise
auch möglich sein.

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$a, b > 0$ muss nicht begründet werden, es ist bereits vorausgesetzt. Allenfalls lässt sich so die Plausibilität der Voraussetzungen begründen. Ob nun damit auch alle $a,b>0$ realistisch im Sinne des Anwendungszusammenhangs sind, weiß ich nicht.

Die Formulierung "bis zu 25%" lässt eine eindeutige Rechnung wohl nicht zu. Man müsste schauen, wie weit man kommt, wenn man mit exakten 25% rechnet.

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Und sollte nicht ein Kursanstieg um 30% beispielsweise in einer Steigung von $1.3$ resultieren?

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Außerdem ist deine zweite Ableitung falsch.

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a,b>0 muss nicht begründet werden, es ist bereits vorausgesetzt.
Allenfalls lässt sich so die Plausibilität der Voraussetzungen begründen.
Ob nun damit auch alle a,b>0 realistisch im Sinne des
Anwendungszusammenhangs sind, weiß ich nicht. 

a und b > 0 sind definiert.
Falls b > 0 muß ln ( x² + a ) auch > 0  sein damit ein positives Ergebnis
herauskommt. Der Aktienkurs kann nicht ja negativ sein.
Aus ln ( x² + a ) > 0  => x² + a > 1. Da x auch 0 ist ( zu Beginn ) muß
a auch > 1 sein.

Die Formulierung "bis zu 25%" lässt eine eindeutige Rechnung wohl nicht zu.
Man müsste schauen, wie weit man kommt, wenn man mit exakten 25% rechnet.

Die Formulierungen sind etwas schwer zu durchschauen. Ich denke aber doch
das für x = 2 ein Wendepunkt gemeint ist.

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Und sollte nicht ein Kursanstieg um 30% beispielsweise in
einer Steigung von 1.3 resultieren?

Beispiel
Wert der Aktie bei x = 2 gleich 100 €.
Wertanstieg 30 % in einem Jahr
Wert der Aktie bei x = 3 gleich 130 €
( 2  | 100 ) ( 3 | 130 )
Geradengleichung
m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 ) = ( 100 - 130 ) / ( 2 - 3 ) = -30 / -1 = 30

m = 30

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Außerdem ist deine zweite Ableitung falsch.

Die erste Ableitung wurd von mir von Hand ermittelt.
Bei der 2.Ableitung wurde mein Mathe-Programm in
Anspruch genommen.



Ist etwas falsch ?

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Entschuldige bitte, die zweite Ableitung ist richtig und entspricht auch meiner, die ich per Hand gerechnet und noch nicht vereinfacht hatte.

Das mit der zweiten Ableitung sehe ich auch so, und genau hier muss man wohl die Vorgaben "bis zu" und "von progressiv nach degressiv" richtig umsetzen.

Ich habe es aber nicht genauer untersucht und dazu auch keine Zeit mehr! Soll der Fragestelle mal einen Vorschlag dazu machen, ist ja schließlich eine benotete Eigenleistung!

Answer 2

Der Kursverlauf soll die ersten beiden Jahre progressiv sein und danach degressiv. was bedeutet das Konkret und was bedeutet das für einen Parameter der Funktion.

Hier in etwa so wie ich es mir vorstelle:

Comments

ich hab keine ahnung was ich mit dieser zeichnung anfangen soll.. sorry :(