Trigonometrische Funktion, um wieviel LE ist sie auf der X-Achse verschoben?

Question

Gegeben ist folgende Funktion:

1/2sin[1/2(x+π/2)]-1

Ich komme dabei auf eine Verschiebung um 1/4π auf der X-Achse nach links.

In meiner Lösung steht aber um 1/2π nach links?!

Kann mir das jemand bestätigen?

Vielen Dank und viele Grüße!

P.S.

Achso und wie beschreibt man huier eigentlich die Streckung/Stauchung in y-Richtung?

Kann ich schreibeun: Um den Faktor 0,5 in Y-Richtung gestaucht? Oder heißt es gestreckt?

Für mich wird sie eiegentlich gestaucht, im Vergleich zur normalen Sin-Funktion, in der Lösung steht aber "Streckung des Graphen in Y-Richtung mit dem Faktor 0,5"

Naja, eigentlich ist eine Stauchung ja auch eine Streckung, oder?

Answer 1

1/2sin[1/2(x+π/2)]-1
~plot~ 1/2 * sin ( 1/ 2 * (x+π/2)) -1 ; 1/2 * sin ( 1/ 2 * x) -1 ~plot~

Wir nehmen einen beliebigen Funktionswert ( hier c ) an
Dieser soll für die Stellen x und y gleich
x liegt auf
1/2 sin [1/2(x+π/2)]-1
und y auf
1/2 sin [1/2(y)]-1

Für die Stelle c gilt
1/2 * ( x  + π / 2 ) = c
1/2 * ( y ) = c
x +  π / 2 = y
y =  x +  π / 2

Das Maß der Verschiebung  ist also π / 2.

Comments

Aber wenn ich die Klammer von f(x) = 1/2sin[1/2(x+π/2)]-1
auflöse kommt doch folgendes raus:

f(x) = 1/2sin(1/2x+1/4π)-1

Wäre die Beschreibung dann richtig, wenn ich sage,

die Funktion ist um 1/4 π auf der X-Achse nach links verschoben

UND um den Faktor 2 in X-Richtung gestreckt?

---

Ich denke du hast es schon.

Zu Streckungen und Stauchungen

f ( x ) = a * sin ( term )

Ist a > 1 wird  der Funktionswert größer : Streckung in y-Richtung
Ist a < 1 wird  der Funktionswert kleiner : Stauchung in y-Richtung

f ( x ) = sin ( a * term )

Ist a > 1 wird  der Funktionswert kleiner : Stauchung in x-Richtung
Ist a < 1 wird  der Funktionswert größer : Streckung in x-Richtung

---

Super, danke für die Erklärung!

Wie meinst du das mit , ich habe es schon?^^


Jetzt noch mal zu meiner genannten Beschreibung der Funktion:

f(x) = 1/2sin(1/2x+1/4π)-1

- Die Funktion ist um 1/4 π auf der X-Achse nach links verschoben

- UND um den Faktor 2 in X-Richtung gestreckt

- Die anderen Eigenschaften der Funktion sind bei der Aufgabe egal


Ist die Beschreibung richtig?

---

sin(1/2 * x+1/4 * π)

- Die Funktion ist um 1/4 π auf der X-Achse nach links verschoben -

  - UND um den Faktor 2 in X-Richtung gestreckt

Ja.

~plot~  sin ( x ) ; sin ( 1/2 * x )  ~plot~


~plot~ sin ( 1/2 * x + PI /4 ) ; sin ( 1/2 * x ) ~plot~

---

Korrektur :

f(x) = 1/2sin(1/2x+1/4π)-1
- Die Funktion ist um 1/4 π auf der X-Achse nach links verschoben

Leider NEIN.

Ich habe mir die ganze Sache nochmals überlegt und bin bezüglich
des Verschiebens auf der x-Achse auf folgende Erklärung gekommen.

Dies ist jetzt nur ein Beispiel, es könnte auch ln ( x ) oder
tan ( x^3 ) sein

f ( x ) = sin ( 0.5 * x )
Jetzt gibt es eine neue Funktion
f ( x + 4 ) = sin (...)

Ein Funktionsaufruf mit x = 6 bedeutet
f ( 6 + 4 ) = f ( 10 ) = sin (...)
Der Funktionswert an der Stelle x = 6 entspricht dem
Funktionswert x = 10 ( alt )
Die alte Funktion wird um 4 Einheiten nach links verschoben.

Um auf die neue Funktion zu kommen ersetze ich in der alte Funktion
überall dort wo x steht dies durch x + 4
g ( x ) = sin ( 0.5 * ( x + 4 ) )

Jetzt kann man ausmultiplizieren
g ( x ) = sin ( 0.5 * x + 2 )

Man sieht jetzt das die " 2 " nicht der Verschiebung der Funktion g
gegenüber der Funktion f entspricht.

mfg Georg

---

Mich hat das auch früher immer sehr verwirrt. Vielleicht kann ich etwas behilflich sein.

Wir haben eine Funktion f(x)

Es gibt jetzt genau 4 Abbildungen die ich mit der Funktion machen kann.

2 Abbildungen beziehen sich dabei auf die y-Achse

g(x) = a * f(x) + d

Das a streckt oder staucht die Funktion in Richtung y-Achse (und Spiegelung an der x-Achse) und das d verschiebt die Funktion in Richtung y-Achse. Dabei wird die Funktion zuerst gestreckt und dann verschoben. Möchte ich das die Funktion zuerst verschoben wird und dann gestreckt wird muss ich klammern.

g(x) = a * (f(x) + d)

Die nächsten 2 Abbildungen beziehen sich jetzt auf die x-Achse

g(x) = f(b * x + c)

Hier bei ist das b eine Streck-/Stauchung in Richtung x-Achse (und Spiegelung an der y-Achse) und das c verschiebt den Graphen in Richtung x-Achse. Aber Achtung jetzt kommt der Clou an der Sache. Die Funktion wird zunächst um c verschoben und dann getreckt. Dann sieht es nachher nicht mehr so aus als wenn die Funktion um c verschoben worden ist. Eben weil die Streckung das alles kaputt macht. Möchte man das hier die Funktion zunächst gestreckt und dann verschoben wird muss man hier entsprechend klammern.

g(x) = f(b * (x + c))

Für die meisten ist es einfacher zunächst die Streck/Stauchung zu beobachten und dann zu verschieben. Daher klammer ich in der Funktion normalerweise immer.

Vielleicht ist euch ja auch schon aufgefallen, dass ein a > 1 die Funktion in Richtung y streckt wohingegen ein b > 1 die Funktion in Richtung x-Achse staucht. Ein d > 1 verschiebt die Funktion in Richtung positiver y-Achse wohingegen ein c > 0 die Funktion in Richtung negativer x-Achse verschiebt.

Man sieht in Richtung x-Achse funktioniert alles eigentlich umgekehrt zur y-Achse. Daher schreibe ich das meist auch etwas anders auf und zwar

g(x) = a * f(1/b * (x - c)) + d

So ist die Funktion wie ich sie eigentlich in der Regel verwende. Jetzt Streckt ein a oder b > 1 die Funktion in Richtung x bzw. y-Achse wenn ich es brauche und ein c oder d > 0 Verschiebt den Graphen in die positive Achsenrichtung. Auch wird hier immer die Streck bzw. Stauchung zuerst ausgeführt und danach die Verschiebung.