Bilinearform Gram-Matrix

Question

Kann mir bitte jemand bei der nachfolgenden Aufgabe helfen? komme leider nicht weiter :(

Sei V ⊂ Mat₂ (ℂ) der 4-dimensionale reelle Untervektorraum aller komplexen Matrizen der Form

B = (x z, z' y)  mit x,y ∈ ℝ und z ∈ ℂ. Rechnen Sie nach, dass

Φ(B,C)=det(B+C)-det(B)-det(C)

eine Bilinearform auf V ist. Wählen Sie eine Basis B₁,...,B₄ ∈ V und stellen Sie die Grsaam-Matrix auf.

Answer 1

Für Linearität in der 1. Komponente wäre ja zu zeigen
mit MatrizenA,B,C aus V  gilt:  phi(A+B,C) = phi(A,C)+phi(B,C)
setze A= a c     B= u w     C=x  z
                c' b          w' v          z'  y

dann ist    phi(A+B,C)  = det(A+B+C) - det (A+B) - det(C)
und nach einiger Rechnerei
= u*y+v*x-z'*w+b*x+a*y-(c'+w')*z -c*z'
und das gleiche kommt raus bei 
det(A+C) - det (A) - det(C)   +  det(B+C) - det (B) - det(C)
=    phi(A,C)                           +           phi(B,C)

Jetzt wäre noch für t aus IR zu prüfen
phi(k*A,C) = t*phi(A,C)
und auch das stimmt, denn bei der linken Seite gibt es
t*b*x+t*a*y-t*c'*z-t*c*z' und da kannst du das t ausklammern und
in der Klammer hast du phi(A,C).

Und die Linearität in der 2. Komponente klappt genauso.

Und als Basis wählt man vielleicht
1 0      0 1       0 i      0 0
0 0      1 0       -i0      0 1   und die heißen A,B,C,D
Dann musst du ja alle möglichen Werte der Bilinearform für die Kombinationen
der Basiselemente ausrechnen, etwa für die 1. Spalte der Gram-Matrix
phi(A,A) = 0
phi(A,B)= 0
phi(A,C)=0
phi(A,D)=1
und die zweite Spalte:
phi(B,A) = 0
phi(B,B)= -2
phi(B,C)=0
phi(B,D)=0
etc.

Comments

Könntest du vielleicht sagen wie du aud phi(A,A)=0 gekommen bist ?

---

Φ(B,C)=det(B+C)-det(B)-det(C)

also   Φ(A,A)=det(A+A)-det(A)-det(A)

= det( 2A ) -det(A)-det(A)

und alle drei sind gleich 0, also auch Erg = 0.

---

Tschuldige, dass ich wieder störe

Kannst vielleicht noch sagen wie du auf A KOMMST

da ist ja nur die rede von B,C oder ist das als ein beweisstück zu sehen ?

Und B=(x         z

z(quer) y)

wieso hast du denn B= u w

w' v

gewählt?

nochmal sorry für die vielen fragen

---

Kannst vielleicht noch sagen wie du auf A KOMMST

da ist ja nur die rede von B,C oder ist das als ein beweisstück zu sehen ?

Die Def. der Abb.kannst du ja schreiben wie du willst mit B,C,X,Y etc. Das ist

egal.

Meinst du jetzt das A aus der Basis ?

Da muss man die Def. der Matrizen, die zu diesem

Raum gehören anschauen. Statt Untervektorraum aller komplexen Matrizen der Form

B = (x z, z' y)  mit x,y ∈ ℝ und z ∈ ℂ.
hätte man auch in Worten sagen können:

Die 2x2 Matrizen, die oben links und unten rechts irgendeine
reelle Zahl haben und unten links die konjugiert komplexe
von der oberen rechten reellen Zahl.
Dann käme gar kein A,B oder so vor. Und mit den 4 von mir gewählten
Matrizen kann man diese alle durch Linearkombination erzeugen. Und
da ja 4 Erzeugende gesucht waren, bilden (z.B.) diese die gewünschte Basis.
Gibt natürlich noch jede Menge andere, aber diese erschien mir recht einfach.

---

aah okay jetzt geschnallt

vielen vielen dank

meine letzte frage: die linearität in der 3. und 4. Komponente ist auch zu zeigen oder?

---

Das phi hat doch nur 2 Komponenten, die heißen in der Def. B und C

aber kann man ja nennen wie man will, also

Additiv in 1. Komp heißt phi(A+B,C) = phi(A,C)+phi(B,C)

homogen in 1. Komp heißt phi(x*A,C) = x*phi(A,C)

Additiv in 2. Komp. heißt  phi(A,B+C) = phi(A,B)+phi(A,C)

homogen in 1. Komp heißt phi(A,x*C) = x*phi(A,C)

Das ist schon :-) alles.

---

Könnte das sein das bei phi (A,B)=-2 rauskommt  denn

det(A+B)-det(A)-det(B)=-1+0-1 oder?

---

Ich hatte:

det(A+B)-det(A)-det(B)=-1+0-(-1) = 0