Beweisen Sie, dass die Gruppen (nZ,+) und (mZ, +) isomorph sind. Durch n resp. m teilbar.

Question

Definition: Zwei Gruppen \( (G_1, ◊) \) und \( G_2, * \) heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus \( φ : G_1 → G_2 \) existiert.

Für n ∈ ℕ definieren wir nℤ als die Menge aller ganzen Zahlen, die durch n teilbar sind. Beweisen Sie, dass für alle n,m ∈ ℕ die Gruppen (nℤ, +) und (mℤ, +) isomorph sind.

Leider verstehe ich derartige Aufgaben meistens erst nachdem ich die Lösung gesehen habe, muss diese aber zuvor abgeben um auf meine Punkte zu kommen. Insbesondere bereiten mir die Beweise Schwierigkeiten, zumal die Korrekteure teilweise doch sehr streng bewerten.

Eventuell kann jemand freundlicherweise vormachen, wie eine guter Beweis aussehen kann?

Comments

Möchtest du irgendeinen guten Beweis vorgemacht bekommen oder soll er zur Aufgabe passen ;-)

Also damit du es lernst werde ich dir dir Lösung jetzt nicht einfach vormachen, aber vielleicht kann ich dich ja zum Ziel führen.

Frage 1: Was muss denn für einen Gruppenhomomorphismus gelten?

Frage 2: Was ist ein Isomorphismus?

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Da der Threadersteller aufgegeben hat, würde ich mich zumindest über dein Fachwissen freuen. :)

Lerne gerade für eine Zwischenklausur und bin in einem Übungsbuch auf diese Aufgabe gestoßen, aber leider fehlt da die Lösung. Mir sind die Definitionen bekannt, aber ich kann immer noch nicht vernünftig kurz und bündig mathematische Beweise formulieren. :/

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Muss es keine Funktionsvorschrift für die beiden Gruppen geben, der die beiden Gruppen quasi verbindet?

zu Frage 1: es muss f(a+b)= f(a)+f(b) gelten

zu Frage 2: ein isomoprhismus ist ein homomorphismus und zudem bijektiv.

Ist das soweit richtig? Wie kann ich jetzt mit Beweis anfangen?

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Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie, dass für alle n,m ∈ N die Gruppen (nZ,+) und (mZ,+) isomorph sind.

Stichworte: abbildung,analysis

Beweisen Sie, dass für alle n,m ∈ N die Gruppen (nZ,+) und (mZ,+) isomorph sind.

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Vom Duplikat:

Titel: Für n ∈ N definieren wir nℤ

Stichworte: untergruppe,gruppe,isomorphismus,isomorph

Für n ∈ N definieren wir nℤ als die Menge aller ganzen Zahlen, die durch n teilbar sind. Beweisen Sie, dass für alle n, m ∈ N die Gruppen (nZ, +) und (mZ, +) isomorph sind.
Hinweis. Siehe die Definition 6.1.7 des Kurzskripts im Netz.

Definition 6.1.7 Zwei Gruppen (G1, ) und (G2, ∗) heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus
ϕ : G1 → G2 existiert.
Beispiele. 1) Die Gruppe (Z, +) und ihre Untergruppe (2Z, +) sind isomorph.
2) Die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks und die Permutationsgruppe S3
sind isomorph.

Answer 1

Man wählt einfach den Isomorphismus: a aus nZ soll auf (a/n)*m abgebildet werden. b aus mZ soll auf (b/m)*n abgebildet werden. Sei f dieser Isomorphismus:

f(a) = (a/n)*m und

f^{-1}(b) = (b/m)*n (Umkehrabbildung)

Offenbar ist f(f^{-1}(b)) = f((b/m)*n) = ((b/m)*n)/n)*m = b für alle b aus mZ. f ist offenbar ein Isomorphismus.