Berührpunkt zweier Funktionen

Question

Zeige, dass sich die Graphen von f(x) = x^3 + 1     und g(x) = x^2 +x       in einem Punkt berühren, und gebe die gemeinsame Tangente an.

Answer 1

Zeige, dass sich die Graphen von f(x) = x³ + 1     und g(x) = x² +x      
in einem Punkt berühren, und gebe die gemeinsame Tangente an.

Berührpunkt
f ( x ) = g ( x )
f ´( x ) = g ´( x )

x^3 + 1 = x^2 + x

~plot~ x^3 + 1 ; x^2 + x ~plot~

Die Grafik zeigt einen Berührpunkt bei x = 1.

( x^3 + 1 ) ´= ( x^2 + x )´

3 * x^2 = 2 * x + 1
mit x = 1
3 * 1^2 = 2 * 1 + 1
3 = 3
Der Schnittpunkt x = 1 ist auch ein Berührpunkt
( rechnerisch gerade nachgewiesen )

Die Tangente für ( 1 | 2 ) hat die Gleichung

t ( x ) = 3 * x + b
t ( 1 ) = 3 * 1 + b = 2
3 + b = 2
b = -1

t ( x ) = 3 * x - 1

Answer 2

f(x) = g(x)

x³ + 1    = x² +x

wobei bei Berührung zusätzlich

f'(s) = g'(s)

s ist eine der Schnittstellen