Grenzwert finden. limes (x gegen 1) von (x^2 + x - 2) ÷ (x - 1)

Question

lim (x -> 1)  (x^2 + x - 2) / (x - 1)

ich muss den grenzwert finden, wenn x gegen 1 geht. Kann jemand mir helfen, ich weiss nicht mehr wie man es findet. LG

Answer 1

Achtung: Division durch 0 ist nicht erlaubt!

Der Definitionsbereich des Quotienten ist IR ohne x=1. Man darf also x=1 nicht einsetzen. Aber man darf umformen unter der Voraussetzung x≠1.

f(x) = (x^2 + x - 2) / (x - 1) =

      |faktorisieren des Zählers schlimmstenfalls mit Formel für quadr. Gleichungen

= ((x-1)(x+2)) / (x-1)

      |kürzen

= x+2    für x≠1. Für x=1 hat f(x) eine Definitionslücke. (vgl. oben).

Eigentlich musst du nun EPSILON > 0 betrachten und erst von rechts 1+ EPSILON und dann von links 1- EPSILON einsetzen und EPSILON gegen 0 gehen lassen. Von beiden Seiten ergibt sich im Grenzwert 3.

Hier darfst du nun in f(x) = x+2, für x≠1, tatsächlich x=1 einsetzen, weil 1+2 = 3 ist der Grenzwert für x gegen 1 tatsächlich 3.

Graphische Interpretation bei einem ähnlichen Beispiel hier: https://www.mathelounge.de/24667/bestimme-grenzwert-definitionslucke-und-unendlichen-von

Answer 2

dann setze einmal ein

lim (x -> 1)  (x^2 + x - 2) ÷ (x - 1) = ( 1 + 1 - 2 ) + ( 1 - 1 ) = 0 + 0 = 0

mfg Georg

Comments

Korrektur :

ich habe das geteilt-Zeichen als plus-Zeichen gelesen

Richtig : ( x^2 + x - 2) / (x - 1) = x + 2

lim x -> 1 = 1 + 2 = 3

mfg Georg

Answer 3

Diese Rechnung sollte ausreichen. Sie ist bei rationalen Termen immer möglich, wenn die Vielfachheit der Nennernullstelle, gegen die die x-Werte laufen, nicht größer ist als die Vielfachheit der entsprechenden Zählernullstelle. In diesen Fällen können die für die Nennernullstellen verantwortlichen Linearfaktoren vollständig gegen den Zähler gekürzt werden und der Grenzwert entspricht dem Wert des gekürzten Terms an der ehemaligen Nennernullstelle.

Comments

Wie bist du auf (x+2) * (x-1) gekommen, verstehe nicht wie ich das ausklammern kann :(

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Wie bist du auf (x+2) * (x-1) gekommen, verstehe nicht wie ich das ausklammern kann :(

Wie es aussieht, ist das eine Rückfrage zu meiner (sicher weiß ich es nicht mehr) Antwort von vor über 11 Jahren.

Meine Überlegungen (waren vermutlich):

Die einfache Nennernullstelle x=1 ist zugleich eine Zählernullstelle.

Nach dem Satz von Viéta muss dann \(\left(-2\div 1\right) = -2\) die andere Zählernullstelle sein. Der quadratische Zähler kann ja höchstens zwei Nullstellen besitzen.

Nun zu deiner Frage nach dem möglichen Ausklammern:$$\begin{aligned} x^2+x-2&=\\\left(x^2-1\right)+\left(x-1\right)&=\\\left(x+1\right)\cdot\left(x-1\right)+1\cdot\left(x-1\right)&=\\\left(\left(x+1\right)+1\right)\cdot\left(x-1\right)&=\\\left(x+2\right)\cdot\left(x-1\right)&. \end{aligned}$$So könnte es durch Ausklammern gehen.

Answer 4

Mit der Regel von L´Hospital:

\( \lim\limits_{x\to1}\frac{x^2 + x - 2}{x - 1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{2x+1}{1}=3\)

Comments

Vieta geht schneller:

x^2+x-2 = (x+2)(x-1)

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Vieta wurde ja schon 3 mal vorgestellt. Dazu muss man das aber auch erstmal erkennen. Insofern ist der andere Ansatz hier durchaus sinnvoll. Ich vermute aber, dass die Regel von L'Hospital nicht behandelt wurde. Dass Vieta schneller ist, würde ich also nicht verallgemeinern.

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Dazu muss man das aber auch erstmal erkennen.

Wer ihn hier nicht erkennt, erkennt ihn nie. Was für ein seltsames Argument!

Offenbar wurde er angewendet. Er ist hier mMn das Mittel der Wahl. Und jeder, der ihn kennt, wendet ihn an.

Es wurde aber nicht explizit gesagt.