Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Binomialkoeffizienten und Cauchy-Produkt von Reihen.

Question

Für n,N ∈ IN₀ gilt die Identität

∑ⁿ_k=0  (^N_k^+k) = (^N+_n¹⁺ⁿ)  (sollen Binome sein ;) )

Für N ∈ IN₀ und z ∈ ℂ mit I z I < 1 ist

1

-----------       =   ∑∞_k=0 (^N_n⁺ⁿ) zⁿ

(1-z)^N+1

^{Hab so gut wie möglich versucht :/}

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie durch vollständige Induktion die Identitäten mit Summen von Binomialkoeffizienten

Stichworte: binomialkoeffizient,reihen,induktion,cauchy,produkt

Leider kann ich das nicht mit dem Formeleditor eingeben, der Texteditor kriegt das nicht hin.

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Wo hängt es denn genau? Weißt du nicht wie man eine vollst. Induktion ausführt? Hängt's im Induktionsschritt?

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Ich kann nichts mit der Matrix anfangen. Also ich wüsste nicht wie ich die Matrix umformen soll. Und bei der b) verstehe den Bruch nicht. Soll ich nur mit dem Bruch die Induktion durchführen? Und was soll ich in N einsetzen?

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Da ist nirgends eine Matrix, höchstens Binomialkoeffizienten. Bei der b) bietet sich induktion nach N an.

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Oder Binomialkoeffizienten :). Bei der a) weiß ich nicht wie ich mit diesem Binomialkoeffizienten ummgehen soll :/. Also der erste Schritt wäre sehr hilfreich.

Bei der b) also eine ganz normale Induktion nach N?

Answer 1

Def. und Eigenschaften der Binomialkoeffizienten finden sich bspw. hier: http://www.math.uni-duesseldorf.de/~internet/Ana1_SS14/Skript/1-2_Induktion.pdf S5ff.

Comments

Ein schönes Anfängerskript. In der Handschrift äußert sich gedankliche Klarheit. :)

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Ok, vielen Dank. D.h. es ist einfacher als ich dachte :).

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Ja. Und ein Blick ins Skript lohnt sich doch immer.

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Wie kann man jetzt N+n über n aufloesen?

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nur blöd, wenn man die Schrift nicht lesen kann ^^

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bi526: Das ist eine sehr gute Dekodierungsübung.

Suche dir Wörter, die du lesen kannst. Schreib dir die entzifferten Buchstaben in eine Tabelle und sobald du etwa die Hälfte aller Buchstaben erkennst, kannst du dich an die vorher unlesbaren Wörter machen. Klappt bestimmt!

Answer 2

Hi,
zu (a) zu zeigen ist
$$ \sum_{k=0}^n \binom{N+k}{k} = \binom{N+1+n}{n} $$
IA: Für \( n = 0 \) ist zu zeigen das gilt \( \binom{N}{0} = \binom{N+1}{0} \) was richtig ist, da beide Seiten den Wert \( 1 \) annehmen.
IS: Zu zeigen ist, das gilt $$ \sum_{k=0}^{n+1} \binom{N+k}{k} = \binom{N+1+n+1}{n+1} $$ d.h. es ist zu zeigen, das gilt
$$ \sum_{k=0}^{n+1} \binom{N+k}{k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{N+k}{k} + \binom{N+n+1}{n+1} = \binom{N+1+n}{n} + \binom{N+n+1}{n+1} = \binom{N+1+n+1}{n+1} $$
Das gilt wegen https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

zu (b)
Für \( N = 0 \) gilt
$$ \sum_{n=0}^\infty \binom{n}{n}z^n = \frac{1}{1-z} $$ wegen \( |z| < 1 \) Stichwort Geometrische Reihe.

Nun ist zu zeigen $$ \sum_{n=0}^\infty\binom{N+1+n}{n} z^n = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n\binom{N+k}{k}z^{n-k}z^k $$
mit $$ a_k = \binom{N+k}{k}z^k $$ und \( b_k = z^k \) folgt aus dem Cauchyprodukt
$$ \left( \sum_{n=0}^\infty a_n \right) \left(  \sum_{n=0}^\infty b_n \right) = \sum_{k=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} $$
$$ \left( \sum_{n=0}^\infty a_n \right) = \frac{1}{(1-z)^{N+1}} $$ wegen der IV, und
$$ \left(  \sum_{n=0}^\infty b_n \right) = \frac{1}{1-z} $$ wegen des Induktionsanfangs. Damit ist alles bewiesen.