Verständnisfrage zum Schnitt dreier Ebenen

Question

Es sind folgende Ebenen in R³ durch Koordinatengleichungen gegeben.

E₁: x + y + z = 0

E₂: 2x + y - z = 11

E₃: -x + 2y -z = 3

a) Beschreiben Sie die Gerade g = E1 geschnitten mit E2.

b) Beschreiben Sie mit dem Gauss-Verfahren E1 geschnitten mit E2 geschnitten mit E3.

Man hat uns gesagt, dass man für a) die Koeffizienten der beiden Ebenen abliest und so zwei rechtwinklig auf den Ebenen liegende Vektoren erhält. Danach bildet man das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren und erhält einen Vektor, der rechtwinklig auf beiden diesen Vektoren steht und welchem dem Richtungsvektoren der Schnittgeraden entspricht. Soweit so verständlich. Nun braucht man noch einen Stützvektoren für diese Schnittgerade.

Nun hat man uns gesagt, dass man zuerst b) hätte lösen können. Dann erhält man nämlich mit den drei Variablen genau einen Punkt, der auf der Schnittgeraden liegt.

Frage: Wieso ist das so? Wieso liefert das Lösen eines Gleichungssystems so einen Punkt? Und Frage 2: Wenn ich drei Ebenen schneide, so erhalte ich einen Punkt?

Answer 1

Das lösen des LGS liefert dir Werte, für die alle 3 gleichungen erfüllt sind. Vergiss die Ebenen in dem Fall. Es ist so, dass sich das Problem des Schnittes von Ebenen auf das Lösen von Systemen reduzieren lässt. Findet man also Werte für x,y,z, die eine Gleichung erfüllen, weiß man, der Punkt ist auf der Ebene. Erfüllt der Punkt 2 Gleichungen liegt er auf dem Schnitt von 2 (.....).

Was die zweite Frage angeht:

Wenn du 3 ebenen schneidest erhältst du nach wie vor eine Schnittgerade. Das ist nur verwirrend dargestellt.

Mit Hilfe es Punktes, der auf allen 3 ebenen liegt, und den Normalenvektoren(die richtungsvektoren) kann man sich eine Gerade bauen, wobei der ausgerechnte Punkt als Ortsvektor benutzt wird, um einen Stützvektor zu finden.

Comments

Besten Dank für diese verständliche Antwort.