Funktion (2^x-1)^2 nullstellen/grenzwerte etc. berechnen

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=(2^x-1)^2

a) Man soll begründen, warum Der Graph bei 0 am tiefsten Punkt angelangt.

b) Man soll lim _x-->∞f(x) berechnen

c) lim _x-->-∞f(x)=a. Man soll a berechnen und den Schnittpunkt von f(x) und y=a.

!

Answer 1

a)

f(x) = (2^x - 1)^2

f(0) = (2^0 - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0^2 = 0

Eine quadratische Funktion kann nicht kleiner als Null werden und 2^x hat auch nur für x = 0 den Wert 1.

b)

f(x) = (2^x - 1)^2

lim (x → ∞) f(x) = ∞

lim (x → -∞) f(x) = 1

f(x) = (2^x - 1)^2 = 1

|2^x - 1| = 1

x = 1

Answer 2

Gegeben ist die Funktion f(x)=(2^x-1)²

a) Man soll begründen, warum Der Graph bei 0 am tiefsten Punkt angelangt.

Es ist \(f(x)\ge 0\) und \(f(0)=0\), so dass es kleiner nicht mehr geht!

(Kann man sprachlich noch eleganter ausdrücken!)

Answer 3

c) lim _x-->-∞f(x)=a. Man soll a berechnen und den Schnittpunkt von f(x) und y=a.

 lim _x-->-∞  [ (2^x-1)² ] = ( 2^{-∞} -1 )^2 = ( 1/2^-∞) -1 )^2 = ( 0 -1 )^2 = 1
a = 1
(2^x-1)² = 1
| 2^x-1 |= 1

1.)
2^x - 1 = 1
2^x = 2
x = 1
( 1 | 1 )

2.)
( 2^x - 1 ) * (-1) = 1
-2^x + 1 = 1
2^x = 0 ( keine Lösung )

~plot~ (2^{x} - 1 )^2  ; 1~plot~