Komplex Differenzieren e-Funktion (Eulersche Formel)

Question

Man gebe sämtliche komplexe Zahlen z = x+iy an , in denen die Funktion f(z) =$$ e^{y} * [i*cos(x)+sin(x)] $$differenzierbar ist.

Ansatz ist in der Klammer i auszuklammern

$$ i*[cos(x)+ \frac { 1}{ i }*sin(x)] $$<=> $$i*[cos(x)-i*sin(x)]$$

<=>$$i*[cos(-x)+i*sin(-x)]$$ <=>$$ i*e^{i(-x)}*e^{y} $$<=> $$i*e^{i*(-x)+y} $$

Das i vor der e-Funktion, kann das richtig sein, das irritiert mich 

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Vom Duplikat:

Titel: Komplex Differenzieren e-Funktion

Stichworte: funktion,differenzierbarkeit

Man gebe sämtliche komplexe Zahlen z = x+iy an , in denen die Funktion f(z) =$$ e^{y} * [i*cos(x)+sin(x)] $$differenzierbar ist.

Ansatz ist in der Klammer i auszuklammern

$$ i*[cos(x)+ \frac { 1}{ i }*sin(x)] $$<=> $$i*[cos(x)-i*sin(x)]$$

<=>$$i*[cos(-x)+i*sin(-x)]$$ <=>$$ i*e^{i(-x)}*e^{y} $$<=> $$i*e^{i*(-x)+y} $$

Das i vor der e-Funktion, kann das richtig sein, das irritiert mich 

Answer 1

Im Ernst; ich glaube hier hat niemand die Aufgabe verstanden.

Ich verstehe das so: Komplex differenzierbar = analytisch = holomorph.

Notwendig und hinreichend ist, dass die Cauchy-riemannschen DGL erfüllt sind, welche im Wesentlichen besagen, dass Multiplikation mit einer komplexen Zahl eine ===> unitäre bzw. ===> konforme Abbildung ist.

u  =  Re  (  z  )  =  exp  (  y  )  sin  (  x  )    (  1a  )

v  =  imag  (  z  )  =  exp  (  y  )  cos  (  x  )   (  1b  )

u_x  =  exp  (  y  )  cos  (  x  )  =  v_y    (  2a  )

u_y  =   exp  (  y  )  sin  (  x  )  =  -  v_x     (  2b  )

Damit ist der Nachweis geführt; jetzt sollten wir das Format umschreiben.

f  (  z  )  =  i  exp  (  y  - i x )    (  3a  )

Nun ist aber

y  -  i  x  =  -  i  z       (  3b  )

f  (  z  )  =  i  exp  (  -  i  z  )    (  3c  ) 

Answer 2

f(z) = u(z) + i * v(z) = u(x, y) + i * v(x, y)

u(x, y) = e^y * sin(x)  ;  v(x, y) = e^y * cos(x)

f ist dann in z differenzierbar, wenn δu / δx = δv / δy und δu / δy = - δv / δx gilt (Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung).

δu / δx = e^y * cos(x)

δv / δy = e^y * cos(x)

δu / δy = e^y * sin(x)

δv / δx = - e^y * sin(x)

Die Bedingung lautet also:

e^y * cos(x) = e^y * cos(x)

e^y * sin(x) = - (- e^y * sin(x))

D.h., die Funktion f ist für alle z differenzierbar.

Answer 3

Siehe https://www.mathelounge.de/251114/komplex-differenzieren-e-funktion-eulersche-formel