Bei Dreieck Koordinaten von C mit Höhenfusspunkt berechnen

Question

Im Dreieck ΔABC sind A = (-2; 3; -2) und B = (0; 5; -3); der Abstand von A zum Höhenfusspunkt H_c, AH_c = 6 Einheiten sowie der Vektor H_cC = (-3  0  6) gegeben. Berechne die Koordinaten von C und den Flächeninhalt des Dreiecks.

Den Flächeninhalt zu berechnen war kein Problem.

Doch wie komme ich auf den Punkt C?

Ich habe mir schon überlegt, dass B die Strecke AH_c genau in der Mitte teilt, damit erhielt ich H_c = (2  7  -4). Doch ich glaube hier habe ich einen Fehler. Den Punkt C wollte ich anschliessend mit der Formel H_cC = C - H_c berechnen, doch mein Endresultat war falsch.

Kann mir jemdand weiterhelfen?

Answer 1

Im Dreieck ΔABC sind A = (-2; 3; -2) und B = (0; 5; -3); der Abstand von A zum Höhenfusspunkt H_c, AH_c = 6 Einheiten sowie der Vektor H_cC = (-3  0  6) gegeben. Berechne die Koordinaten von C und den Flächeninhalt des Dreiecks. 

Ich denke das deine Idee schon ganz richtig war.

AB = B - A = [0, 5, -3] - [-2, 3, -2] = [2, 2, -1]

|AB| = √(2^2 + 2^2 + 1^2) = 3

Hc = A + 2 * AB = [-2, 3, -2] + 2 * [2, 2, -1] = [2, 7, -4]

C = Hc + HcC = [2, 7, -4] + [-3, 0, 6] = [-1, 7, 2]

Eine andere Möglichkeit wäre das Hc vor A liegt.

Hc = A - 2 * AB = [-2, 3, -2] - 2 * [2, 2, -1] = [-6, -1, 0]

C = Hc + HcC = [-6, -1, 0] + [-3, 0, 6] = [-9, -1, 6]

Comments

Wie lautete denn die gegebene Kontroll-Lösung ?

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C₁ = (-9;-1;-6) , C₂ = (-1;7;-10)

Bei C₂ dachte ich, dass es sich möglicherweise um einen Fehler in der Lösung handelt, da ich die selbe Lösung wie du erhalten habe und es nicht das erste Mal wäre, dass es einen Fehler in den Lösungen hat.

Aber beim Punkt C₁ ist mir erst jetzt aufgefallen, dass die Lösung -6 und nicht 6 ist. Dann stimmt am Rechenweg vielleicht doch etwas nicht..

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Lautet der Vektor

H_cC = (-3  0  6)

vielleicht

H_cC = (-3  0  -6)

??? 

Das würde die gewünschten Ergebnisse liefern.

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Nein der lautet (-3  0  6), aber vielleicht ist ein Fehler in der Aufgabenstellung vorhanden und er sollte (-3  0  -6) lauten.

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Das mag natürlich sein. Dann die Aufgabe vom Zettel und nicht aus dem Buch. In Büchern sind generell weniger Fehler. Leider scheuen sich viele Lehrer (warum auch immer) nach Büchern zu unterrichten.