Zwischenwertsatz und Extrema. Behauptung f(x):=(4x)/(√(1+x^2)) + cos(πx) - x hat in [-1,1] eine Nullstelle.

Question

Wie kann ich die Aufgaben lösen, kann einer mir da helfen bitte

Answer 1

a) f ( -1 ) = - 2.83
f ( 1 ) = 0.82

und die Funktion ist als Summe von stetigen Funktionen überall auf [-1;1] stetig,

also hat sie nach dem Zwischenwertsatz dort eine Nullstelle, denn 0 liegt zwischen

-2,83 und 0,82.

b) Jede stetige Funktion nimmt auf jedem kompakten Intervall ihr

Maximum und Minimum an.

Comments

b) Jede stetige Funktion nimmt auf jedem kompakten Intervall ihr
Maximum und Minimum an.

Was ist damit gemeint ?
Was ist ein kompaktes Intervall ?

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Das ist ein Satz aus einem Analysisskript und der dürfte dort auch bewiesen worden sein.

"Kompakt" heisst für deine Zwecke (auf Intervalle bezogen) "abgeschlossen und beschränkt": Also eine Strecke auf der x-Achse inklusive Eckpunkte.

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Soll der Satz bedeuten :
Wenn ich eine stetige Funktion in einem Intevall aufzeichne
hat die Funktion immer einen minimalen Wert und einen maximalen
Wert, im Zweifelsfall ein Randmaximum bzw- minimum ?

Was wäre mit f ( x ) = 4 ?

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Für welches Intervall denn?

Bsp. I = [2,5]

Es heisst das Maximum und das Minimum werden angenommen.

Bei f(x) = 4

ist das Maximum und das Minimum 4.

Es wird z.B. an der Stelle x=3 angenommen:

f(3) = 4

Answer 2

Die Funktion hat keine Def-Lücken.
D = ℝ
Das die Funktion Sprünge macht kann ich auch nicht erkennen.
( Hier wäre vielleicht ein Nachweis erforderlich )

a.)
f ( -1 ) = - 2.83
f ( 1 ) = 0.82

Als muß die Funktion mindestens einmal die x-Achse geschnitten haben.

Comments

b.) muß ich noch überlegen.

f ( -7 ) = 2.04
f ( 5 ) = -2.07

Zeichne dir die 4 Punkte einmal in ein Koordinatensystem ein.
Daraus wird ersichtlich das die Funktion min. 1 Min und Max
haben muß.

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Hier der Graph

~plot~ 4 * x / sqrt( 1+x^2) +cos( 3.14 * x ) -x ~plot~

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Wie kann ich den bei 5. b) das graphische in Formel oder besser gesagt hin schreiben.

f(-1)= -2 √2 <0 und f(1)= 2 (√2-1) >0

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Dies wäre aber 5 a.)
f(-1)= -2 √2 <0 und f(1)= 2 (√2-1) >0

Zwischen x = -1 und x = 1 wechselt die Funktion von einem negativen
Funktionswert zu einem positiven Funktionswert. Dammit muß  y  = 0
( die x-Achse ) mindestens 1 mal überschritten worden sein.

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Ja sorry ich meine 5 a, wie kann ich da ein mini oder Maximum zeigen, besser gesagt wie kann man es hinschreiben?

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Du musst doch nur zeigen, dass es je eines gibt.

Dazu brauchst nur zu schreiben.

Die Funktion ist auf dem ang. Intervall stetig, also

besitzt sie dort min und max.

Gegebenfalls am Rande des Intervalls.

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Die Reihe ist
( -7 | 2.04 )
( -1 | -2.83 )
( 1 | 0.82 )
( 5 | - 2.07 )

Mit dem Mausrad zoomen

~plot~  { -7|  2.04 } ; { -1|  -2.83 } ; { 1 |  0.82 } ; { 5 |  -2.07 }~plot~

Vielleicht so :
Zwischen Punkt 1 und Punkt 2 geht es runter.
Zwischen Punkt 2 und Punkt 3 geht es hoch.
Hier muß mindestens 1 Minimum liegen

Zwischen Punkt 2 und Punkt 3 geht es hoch.
Zwischen Punkt 3 und Punkt 4 geht es runter .
Hier muß mindestens 1 Maximum liegen

Oder :
Punkt 2 liegt tiefer als Punkt 1 und 3 deshalb muß hier mindestens 1 Minimum sein.
Punkt 3 liegt tiefer als Punkt 2 und 4 deshalb muß hier mindestens 1 Maximum sein.

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@mathef

ich hatte oben bei deiner Antwort schon einmal nachgefragt
was du mit

Dazu brauchst nur zu schreiben.
Die Funktion ist auf dem ang. Intervall stetig, also
besitzt sie dort min und max.

meinst ?

Wieso hat eine stetige Funktion in einem Intervall
ein Minimum oder Maximum ?

f ( x ) = 4

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https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Satz_vom_Minimum_und_Maximum

Hier findet man den Satz zitiert. Der Beweis ist nicht ganz einfach.

Bei f(x) = 4 ist doch alles klar.

Max = Min = 4 wird auf jedem Intervall sogar an vielen Stellen vorkommen.

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Das gilt sogar im \( \mathbb{R}^n \) für jede kompakte Menge.