(4x^2+1)(x^2-x-6)<0 Quadratische Ungleichung mit mehreren Termen?

Question

Zu dieser Ungleichung finde ich momentan keine Lösung: (4x²+1)(x²-x-6)≤0

Normalerweise werden ja erst einmal die Klammern ausmultipliziert. Wenn dies geschieht habe ich aber eine Quartische Ungleichung. Ist das Sinn der Sache? Habe nirgends eine Lösung zu quartischen Ungleichungen gefunden. Gibt es noch andere Methoden dies anzugehen? Wie sind die ersten paar Schritte zur Lösungsfindung bei dieser Aufgabe?

Comments

Normalerweise werden ja erst einmal die Klammern ausmultipliziert.

Normalerweise führt dies meist, so wie auch hier, in die Wüste!
Mache eine Fallunterscheidung.

ps: Du wirst feststellen, dass dabei nur eine quadratische Ungleichung
übrig bleibt, die zudem noch leicht im Kopf gelöst werden kann.

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Daran hat es also gehackt. Vielen Dank fürs Aufzeigen des Lösungsweg!

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Bei den Überlegungen zur Fallunterscheidung wirst du feststellen, dass der erste Faktor der linken Seite immer positiv ist. Daher kannst er einfach wegfallen und die Fallunterscheidung muss nicht wirklich explizit auseführt werden.

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Also ist die Fallunterscheidung nach Negativem und Positivem X, oder?

Aber ich verstehe jetzt trotzdem nicht wie ich weiter komme?

Ich finde nicht eine einzige Aufgabe im Internet in der beschrieben wird wie man mehrere multiplizierte Terme in einer Ungleichung löst. Mich interessieren nicht die Brüche sondern nur eben die Multiplikation. Ich versteh einfach nicht wie ich da weiter komme...

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Hi, du hast
$$ (4x^2+1)(x^2-x-6) \lt 0 $$Die Ungleichung ist erfüllt, wenn das Produkt auf der linken Seite negativ ist. Das ist der Fall, wenn beide faktoren verschiedene Vorzeichen haben. Der linke Faktor ist aber immer positiv. Daher muss der rechte Faktor negativ sein und der linke kann weggelessen oder harausdividiert werden. Die Ungleichung ist also äquivalent zu
$$ (x^2-x-6) \lt 0 $$Die linke Seite lässt sich leicht faktorisieren und wir haben
$$ (x+2)(x-3) \lt 0 $$Dies ist äquivalent zu
$$ -2 \lt x \lt 3. $$Das waren jetzt drei Rechenschritte.

Im Text oben steht \(\le\) statt wie in der Überschrift \(\lt\). Die Rechnung kann entsrechend angepasst werden.

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Man kann den linken Teil der Ungleichung einfach weg lassen? o.o

Okay...

Vielleicht habe ich deswegen keine Lösungen zu so etwas gefunden.

Weil es scheinbar zu einfach ist.

Answer 1

Zunächst einmal. Heißt es
 (4x²+1)(x²-x-6) ≤ 0
oder
 (4x²+1)(x²-x-6) < 0

Bei dieser Aufgabe kann relativ viel vereinfacht werden. Du willst aber
eine möglichst allgemeine Lösung

Für
( term1 ) * ( term2 ) < 0
gilt
( term1 < 0 ) und ( term 2 > 0 ) < 0
oder
( term1 > 0 ) und ( term 2 < 0 ) < 0

term1 ist in deinem Fall immer > 0 also bleibt
(x²-x-6) < 0
x^2 -x + (1/2)^2 < 6 + 1/4
( x - 1/2)^2 < 25/4
- √ 25/4 < x - 1/2 <  + √ 25/4
-5/2 < x - 1/2 < 5/2
-2 < x  < 3

~plot~ ( 4 * x^2 +1 ) * ( x^2 -x - 6 )  ~plot~