Erzeugendensystem und Basis von R_(≤2)[x].

Question

 Bitte um Hilfe wie ich das berechnen kann.

Answer 1

R<=2 [x] hat dim 3 und Standardbasis 1;x;x^2  also T1 kein Erz.syst.

T2 schon, aber keine Basis, da der letzte durch die ersten 3 dargestellt werden kann,

also lin. abh.

T3 sind 3 Stück, also Basis wenn lin. unabh.

Da prüfst du

a*(x^2 + x) + b*(x^2 - 1 ) + c*(x+1) = 0

(a+b)x^2 + (a+c)x  + ( -b + c ) = 0 also

a+b = 0   und  a+c = 0  und  -b+c = 0 

c=b

a+c = 0  und a+c = 0  und   c=b

also Lösung z.B.   ( 1 ; -1 ; -1 ) also

sind die Vektoren lin. abh, damit keine Basis

und ( weil drei Stück) kein Erz.syst.

T4 wie bei T3 angehen, aber es zeigt sich:

einzige Lösung a=b=c=0, also drei lin. unabhängige,

also Basis. und damit auch Erz.syst.

b)  Es fehlt nur x^3

c) Das V ist ja das gleiche wie IR<=1 [x] das hat z.B. die

Basis { x+1 ; 1 } . Also wenn "konstruieren" auch heißt:

einen weglassen, dann geht es.

Answer 2

R_≤2[x] hat die Dimension 3. Daher ist T_(1) schon mal kein Erzeugendensystem.

Kennst du eine Basis von R_≤2 ?

Wenn ja, kannst du bei den andern Teilaufgaben prüfen, ob du alle  Polynome dieser Basis mit den gegebenen Polynomen darstellen kannst.

Alternativ kannst du drei Polynome auswählen und zeigen, dass sie voneinander linear unabhängig sind.

Das wären dann Erzeugendensysteme. Basen müssen Erzeugendensysteme sein und genau 3 Elemente enthalten.

Bei b) könntest du x^3 dazunehmen.

Bei c) sollte T_(5)= {x+1, 1} genügen.