Rekursiv sind die Folgen an sich nicht. Gleich bei der a) gibt es einen Trick. " State of the Art " - was selbst die Assistenten verkündeten - wäre die 3. binomische. Aber stell dir mal vor, da stünde keine Quadratwurzel, sondern die 4 711 ...
Dieses Genie, desse n Namen ich leider vergessen habe, arbeitete bei dem Konkurrenzportal ===> Ly cos; schließlich muss ich zitieren, weil ich weder Gutenberg noch Bösental bin. Sein Trick bewährte sich selbst gegen Kubikwurzeln.
" Was ist ein Kubikmeter? Wenn sich eine Kuh einen Meter bikt. 2
Ich musste es aber doch noch verallgemeinern; in ( meiner ) heutigen Form ist es die Substitution
n ^ k =: 1 / z ^ m ( 1a )
Dabei ist k die höchste vorkommende Potenz , also k = 2 ( muss nicht notwendig ganzzahlig sein ) und m die Höhe der Wurzel ( m = 2 für quadratwurzel ) Du ziehlst immer darauf ab, dass du im Nenner linear z ^ 1 bekommst:
n ² = 1 / z ² ( 1b )
n = 1 / z ( 1c )
( 1c ) war auch der ursprüngliche Vorschlag; wie gesagt zu unflexibel.
f ( n ) = f ( z ) = ( 2a )
= sqr ( 4 / z ² + 11 / z ) - sqr ( 4 / z ² - 3 ) = ( 2b )
= ( 1 / z ) [ sqr ( 4 + 11 z ) - sqr ( 4 - 3 z ² ) ] ( 2c )
Im Limes geht jetzt z gegen Null. Aber ( 2c ) ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient der Funktion
F ( z ) = sqr ( 4 + 11 z ) - sqr ( 4 - 3 z ² ) ( 3a )
genommen zwischen der beliebigen Stelle z und z = 0 Dies liegt schlicht und ergreifend daran, dass F ( 0 ) = 0 Und im Grenzübergang geht dieser Differenzenquotientgegen die Ableitung
F ' ( 0 ) = 11 / 2 sqr ( 4 + 11 z ) | z = 0 - 3 z / sqr ( 4 - 3 z ² ) | z = 0 = 11/4 ( 3b )
Ein User schrieb mir mal ganz empört, wenn du einfach ganz pfiffig her gehen kannst und den Definitionsbereich transformieren. " Für was " lernen wir eigentlich noch " Definitionsbereich" ?
Bei der b reicht es, den Grenzwert unter der wurzel zu bestimmen; die ist nur ein " Kinderschreck " Z.B. mittels '" Krankenhausregel "
( n + 1 ) ³ + 1
1/2 lim ---------------------------------------- = ( 4a )
4 n ³ + 2 n ² + 1
( n + 1 ) ² n + 1
= 3/8 lim ------------------------------- = 3/4 lim ----------------------- = 1/8 ( 4b )
3 n ² + n 6 n + 1
Und daraus wie gesagt die Kubikwurzel; das ist 1/2
bei der c) muss ich euch ins Gewissen reden; ihr missbraucht die Polynomdivision ( PD ) für alle unmöglichen Zwecke, wo sie gar nicht hin gehört - z.B. raten von Nullstellen ( Das geht viel einfacher mit den von mir entwickelten ===> Alfonsinischen pq-Formeln ) Genau hier brauchtet ihr sie, um euch nicht mit dem Hauptnenner und irren Klammern schleppen zu müssen. Wir wollen zu sehen, was sich vom ganz rationalen Anteil kürzt. Gleich die erste ist eine PD durch Linearfaktor ( PDLF ) Im Internet wurde anonym entdeckt - und Viele von euch wissen das bereits - dass PDLF äquivalent Hornerschema; hier das wickelst du per Kopf Rechnen ab + Schmierzettel. Ich kann hier nur ganz kurze Erläuterungen bei steuern:
f ( x ) := x ² + 3 ( 5a )
f ( x ) : ( x - 1 ) = g ( x ) Rest f ( 1 ) ( 5b )
g ( x ) = m x + b ( 5c )
Und jetzt Horner
p2 ( f ) = a2 ( f ) = 1 = m ( 5d )
p1 ( f ; 1 ) = p2 + a1 ( f ) = 1 = b ( 5e )
p0 ( f ; 1 ) = p1 + a0 ( f ) = 4 = f ( 1 ) ( 5f )
( x ² + 3 ) : ( x - 1 ) = x + 1 + 4 / ( x - 1 ) ( 6 )
Die zweite PD ist konventionell; die könnt ihr:
( x ³ + 2 ) / ( x ² + 4 x ) = x - 4 + 2 ( 8 x + 1 ) / ( x ² + 4 x ) ( 7 )
Hier; eigentlich doch logisch. Der Grenzwert kann doch nur existieren, wenn sich der ganz rationale Anteil heraus hebt; bei jeder Kurvendiskussion würde ich euch raten, macht erst mal die PD , dann die Asymptotik und dann alles andere.
c) = ( 6 ) - ( 7 ) = 5 + Nuillfolge
Bisher habe ich dir hauptsächlich Dinge erzählt, auf die ich durchaus nicht zu Unrecht stolz bin; ich helf gerne aus mit Sachen, die nicht jeder kennt. Ich weiß aber nicht, ob hier gleich anderen Portalen sog. " Eigenleistung " verlangt wird, wo sie sagen, wie komm ich dazu, deine Hausaufgaben zu machen? Ich meine die d) ; die Idee ist praktisch
( 1 + 1 / n ) ^ n ===> e ( 8 )
Von dir wird jetzt eine Substitution erwartet, um Identität ( 8 ) geschickt für die Lösung nutzbar zu machen. Ehrlich gesagt: Eigenleistung fordere ich immer dann, wenn mich eine Aufgabe zu unintressant dünkt.
Bei der e) kommt es entscheidend darauf an, durch die höchste Basis zu kürzen; das ist 7 Bitte zur freundlichen Beachtung: Im Exponenten darf nur n stehen; nicht 4 711 n + 1 234
( - 1/7 ) ^ n + 15/7
lim = lim --------------------------------------------- = 5/49 ( 9 )
160 ( 4/7 ) ^ n - 21
Die f) ist eine " Oma " ; da solltest du auch alleine dahinter kommen.
1) Kürze durch n ( Gehe nicht über LOS ; ziehe nicht € 4 000 ein . )
2) Überlege dir, welchen Betrag die ganzen Potenzen von i haben.
Jetzt muss ich aber ins ===> Schlaftürlein; sonst werde ich im ===> Kämmerleinletz mit einem Löffel Grießbrei bestraft.
