Welcher dieser Funktionen ist stetig? a) f(x,y):= y^2 /x für x≠0 und f(x,y):= 0 für x=0.

Question

Welche dieser Funktionen f: ℝ² → ℝ ist stetig? Und warum? Wie zeig ich das?

(a)
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{y^{2}}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{array}\right. \)

(b)
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\phi(x)-\phi(y)}{x-y} & x \neq y \\ \phi^{\prime}(x) & x=y \end{array}\right. \)

c)
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)

d)
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x_{4}}{x^{4}+y^{4}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)

e)
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)

Comments

Du musst im Prinzip 'nur' den Grenzwert f(x,y) für x,y ---> Definitionslücke ansehen. Wenn der aus allen Richtungen den unten definierten Wert ergibt, ist die Funktion dort stetig. Neben den Definitionslücken kannst du Stetigkeit wohl voraussetzen. Ausser bei diesem 'phi'. Was ist das überhaupt?

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phi ist aus C¹(ℝ) ...

zeig ich das für 2 variablen genauso wie für 1?

Answer 1

a) Der Grenzwert der Funktion f wenn x->0 ist 

$$\lim_{x \to 0} f(x)= \lim_{x \to 0} \frac{y^2}{x}=\infty \neq f(0)$$

Also ist die Funktion stetig für x ≠ 0.