Wann wird eine Aussageform wahr?

Question

Gegeben ist eine Aussageform \(\varphi(x)\) mit \(x \in \mathbb{N}\).

Wir betrachten folgende Aussage

\( (\forall x \in \emptyset) (\varphi(x) \Rightarrow (\varphi(0)) \).

Wir wissen, dass sie wahr ist, denn wenn es nicht der Fall wäre, dann würde es ein \(x\) geben für das \( \varphi(x) \Rightarrow \varphi(0) \) falsch wäre. Da aber es sich um eine leere Menge handelt, kann es solches \(x\) nicht geben und somit ist die Aussage wahr.

Diese können wir umformen in \( (\forall x \in \emptyset) (\neg \varphi(x) \vee (\varphi(0)) \). Wir haben gesagt, dass sie wahr ist, deswegen müsste \( \neg \varphi(x) \) wahr sein oder \( \varphi(0) \).

Jetzt komme ich zur meiner Frage. Welche ist denn richtig? Wie kann ich überhaupt diese Frage stellen, wenn ich für \( \neg \varphi(x) \) nichts eingesetzt habe? Auf der einen Seite weiß ich, dass \( \neg \varphi(x) \vee \varphi(0) \) wahr sein muss, auf der anderen macht es für mich keinen Sinn, da ich doch nichts für \(x\) einsetze...

Comments

Nicht, dass ich dir hier inhaltlich helfen könnte, aber ich wollte noch die fehlende Klammer (?) ergänzen.

in Folgendem hast du 5 öffnende und 4 schliessende Klammern:

\( (\forall x \in \emptyset) (\varphi(x) \Rightarrow (\varphi(0)) \).

Was fehlt / ist zu viel?

Answer 1

In der Logik wird der Allquantor nur eine NICHTLEERE Grundmenge definiert.

vgl. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Quantor#Existenz-_und_Allquantor

Deine 'Konstruktion' ist also nicht definiert.

Answer 2

Du darfst nie vergessen:  A  ===>  B  ist definiert als:  " B oder nicht A "


    Bei ===> Peter Mittelstaedt findest du ein nettes Spiel, wie der Proponent P jede Schlussregel zu beweisen sucht, indem er ihre Konswequenz einfach behauptet.
   Der Opponent O behauptet darauf hin die richtigkeit der Voraussetzung A ; um dem Beweiszwang zu entgehen, fordert darauf hin P seinerseits von O den Beweis von A .

  Deine Aussage hängt so ähnlich in der Luft wie jene Aussagen

   " WENN ein x existiert, dann ist es eindeutig. "


    Das Prädikat Phi ist wahr für Null; oder es ist falsch auf der leeren Menge. Was willst du damit beweisen? Da du immer annehmen kannst, dass es falsch ist auf der leeren Menge, ist deine Schlussregel trivial erfüllt.
   Aber was kannst du dir schon dafür kaufen?
   Es kommt - siehe der obige Opponent - viel mehr darauf an, ein Gegenbeispiel zu finden, wo die Konsequenz falsch ist, aber die Voraussetzung wahr .

Comments

Kann ich Wolf kommerntieren? Er hat keinen Button.
 
  Natürlich kannst du den Allquantor auch auf die leere Menge erstrecken.

  " Von allen Venusmonden gilt, dass sie den Planeten Venus umkreisen. "

  ist richtig unabhängig von der Kardinalität der Erfüllungsmenge.

  Ja das, worauf dieser Quantor wirkt, muss nicht mal eine Menge sein. Ich selbst bin ja nun Fan von ===> Edward Nelsons " Nonstandard Analysis " ( Lehrbuch: Alain Robert bei John Wiley )

  Etwas reißerisch formuliert: Nelson gelingt es, die Existenz infinitesimaler Zahlen zu beweisen ( In Wirklichkeit hat seine Erdrutsch artige Revolution viel mehr bewirkt. )

   Unverzichtbar ist für Nelson das ===> Transferaxiom; und das geht so:


  " Für alle Standard X gilt P ( X ) ; dann folgt aber: Für beliebige x gilt P ( x )   "

( Nelsons Prädikat " Standard " ist schon deshalb nicht Mengen bildend, weil du ja sonst auf Grundlage der ===> ZFC entscheiden köänntest, ob es existiert oder nicht. )

Diese logischen quantoren greifen ganz offensichtlich auf einer viel tieferen Ebene, wo wir matematische Objekte noch gar nicht näher definiert haben.

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Oder noch einfacher:


  " In ALLEN Vektorräumen ist das Nullelement eindeutig. "


   So etwas wie die " Menge aller Vektorräume " oder die " Menge aller Gruppen " gibt es nicht.