Lineares Differentialgleichungssystem lösen

Question

Folgende Aufgabe ist zu lösen

Dazu habe ich die Differentialgleichung in eine Matrix verwandelt, diese gleich den Anfangswerten gesetzt und mittels Gauß berechnet.

Dabei ist x=-1/2 y=1/2 z=-1/4

Nun stehe ich aber auf dem Schlauch und weiß nicht wie es weiter gehen soll.

Als Lösung ist

angegeben.

!

Answer 1

und (in Fortsetzung der 1. Antwort) gibt das

c =( 1 ; 0 ; -1 ) ^t

und Z(t) * ( 1 ; 0 ; -1 ) ^t = Das was bei der Musterlösung stand.

Comments

Kannst du das bitte noch etwas näher erläutern? Ich habe leider kein gutes mathematisches Verständnis..

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Ich versuche es mal ausführlicher:

Wenn die Spalten der Matrix Z(t) eine Basis des Lösungsraumes bilden, dann ist jede

Lösung eine Linearkombination der Spalten dieser Matrix, lässt sich also irgendwie in

der Form Z(t) * Spaltenvektor ( a; b ; c )    kurz also

Z (t) * ( a; b ; c ) ^t    schreiben.

Und durch die Forderung über die Anfangswerte heißt das:

Wenn du für t=0 einsetzt, muss bei       Z (t) * ( a; b ; c ) ^t  der Spaltenvektor (2 ; -2 ; 1 )

rauskommen.  Das Einsetzen von t=0 bedeutet (weil e^0 = 1 )  also auch e ^4*0 = 1 etc:

1       t+1     -1                       a                   2

-1       -t        1          *           b       =          -2     

1         t         0                     c                      1

Wenn du dieses Gl.syst. mit dem Gaussalgorithmus löst gibt es

a=1          b=0              c=-1 

Und wenn du dich jetzt an             Z (t) * ( a; b ; c ) ^t   erinnerst, gibt

es    für die gesuchte Lösung         Z (t) * ( 1; 0 ; -1 ) ^t   =

1*e ^-4t     +    0*(t *e ^-4t + e ^-4t )    +  (-1 ) * ( - e ^-4t )  

1*(- e ^-4t  )   +    0*( - t *e ^-4t )    +  (-1 ) *  e ^-4t

1*e ^-4t     +    0*(t *e ^-4t)    +  (-1 ) * 0

und wenn du diese drei Zeilen ausrechnest:

2*e ^-4t  

-2*e ^-4t

1*e ^-4t  

und das ist genau die Lösung, die rauskommen soll.

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Das ist nun wirklich nicht schwer (wenn man einmal weiß wie es geht ;)

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Eine kurze Frage habe ich noch. Nachdem man diese LGS gebildet hat:

Kann man direkt  t=0 setzen? Oder muss man t nun als Koeffizient stehen lassen und "durchgaußen"?

Zumindest im vorliegenden Fall wäre das Ergebnis (mit t=0) korrekt..

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Klar, du kannst sofort t=0 setzen, denn es geht ja um den

Anfangswert für t=0.

Answer 2

Du hast ja bereits ein Fundamentalsystem gegeben, die Gleichungen selber koennen Dir voellig wurscht sein. Die allgemeine Lösung lautet damit: $$\mathfrak{x}(t)=Z(t)\mathfrak{c}$$ Du sollst eine finden, mit: $$\mathfrak{x}(0)=(2,-2,1)^T$$ Dazu musst Du offensichtlich das LGS $$Z(0)\mathfrak{c}=(2,-2,1)^T$$ nach \(\mathfrak{c}\) aufloesen.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Leider verstehe ich immer noch nicht wirklich was ich tun soll.. Kannst du bitte einen Link posten, wo das genauer erklärt wird oder deine Angaben noch etwas näher erläutern? Ich habe leider kein gutes mathematisches Verständnis..