Funktionsgleichung ermitteln

Question

Hallo ich komme bei der 4 C nicht weiter.könntet ihr mir bitte behilflich sein.  

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Und hier noch der konventionelle Rechenweg

Gesichert gesagt werden kann

f ( 1 ) = 1.2
f ´ ( 1 ) = 0

Die Gerade ( Tangente ) geht durch den Ursprung
( 2*x ; x = 0 ; y = 0 ) und damit auch
f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 2
f ´´( 0 ) = 0

Da in der Frage angeführt ist " Symmetrieeigenschaften nutzen " gehe
ich auch bei dieser Aufgabe von einer Symmetrie ( Punktsymmetrie )aus.

Punktsymmetrie : die Exponenten einer ganzrationalen Funktion sind alle ungerade
( Achsensymmetrie :  die Exponenten einer ganzrationalen Funktion sind alle gerade )

f ( x ) = a * x^5 + b * x^3 + c * x + d
d = 0 und entfällt
f ( x ) = a * x^5 + b * x^3 + c * x
f ´( x ) = 5 * a * x^4 + 3 * b * x^2 + c
f ´´ ( x ) = 20 * a * x^3 + 6 * b * x
Dadurch ergibt sich
f ´´ ( 0 ) = 0 ( wie oben angeführt , die Aussage entfällt )

Es bleibt
f ( x ) = a * x^5 + b * x^3 + c * x
f ´( x ) = 5 * a * x^4 + 3 * b * x^2 + c
f ( 1 ) = 1.2
f ´ ( 1 ) = 0
f ´( 0 ) = 2 => c = 2

Es bleibt
f ( x ) = a * x^5 + b * x^3 + 2 * x
f ´( x ) = 5 * a * x^4 + 3 * b * x^2 + 2
f ( 1 ) = 1.2
f ´ ( 1 ) = 0
 
f ( 1 ) = a * 1^5 + b * 1^3 + 2 * 1  = 1.2
f ´( 1 ) = 5 * a * 1^4 + 3 * b * 1^2 + 2 = 0

a  + b + 2   = 1.2
5 * a + 3 * b  + 2 = 0

a = 1.2 - b - 2
5 * a + 3 * b  + 2 = 0
5 * ( 1.2 - b - 2 )  + 3b  + 2 = 0
6  - 5b - 10 + 3b + 2 = 0
-2b = 2
b = -1
a = 1.2 - (-1) - 2
a = 0.2

f ( x ) = 0.2 * x^5 - x^3 + 2 * x

Answer 1

f(0) = 0

f''(0) = 0

f''''(0) = 0

f'(0) = 2

f(1) = 1.2

f'(1) = 0

Nutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm um deine Ergebnisse zu kontrollieren.

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Hallo danke für deinen Tipp aber der Tool hilft mir nicht ganz weiter  Welche Funktionsgleichung ergibt sich denn am Ende?

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Das Tool sagt unter Errechnete Funktion und Ableitung(en):

f(x) = 0,2·x^5 - x^3 + 2·x

Answer 2

Also, da der Grapf punktsymmetrisch zum Ursprung ist, kann es z.B. eine Funktion dritten Grades sein:

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Man braucht 4 Informationen um die Parameter zu bestimmen:

(I) f(0) = 0

(II) f(1)=1,2

(III) f'(0) = 2

(IV) f'(1)=0

Kannst du das jetzt einsetzen und lösen?

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Das Einsetzen kann ich natürlich aber komme danach nicht weiter weil ich zu viele Funktionen hab .

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Wie viele Wendepunkte kannst du von der Funktion sehen? Welchen Grad muss die Funktion daher mindestens haben?

Auch die Symmetrie hast du hier nicht ganz richtig beachtet. Wie schaut der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion aus, die symmetrisch zum Ursprung ist?

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Genau den Grad kann ich nicht ermitteln,da liegt meine Schwierigkeit.Welchen Grad hat denn die Funktion?

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Puh ganz schön viele Fragen. Hättest du Lust das ein wenig auszuführen? Ich hab das Gefühl ich muss das noch was lernen.

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Eine Funktion n. Grades hat maximal n Nullstellen,

maximal n - 1 Extremstellen und

maximal n - 2 Wendestellen.

Wenn ich 3 Wendestellen sehe muss die Funktion also mind. vom Grad 5 sein.

Punktsymmetrisch bedeutet es tauchen nur ungerade Exponenten von x auf also

f(x) = ax^5 + bx^3 + cx

Ich habe 3 Parameter also brauche ich 3 Bedingungen.

1. Steigung an der Stelle Null

2. Eingetragener Hochpunkt

3. Steigung im Hochpunkt

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ich sehe da nur 2 Wendestellen wo ist denn die 3.?

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UND wie hast du im ersten Blick ermittelt,dass die Funktion punktsymmetrisch ist?

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Du kannst auch die Extrempunkte zählen. Da habe ich 4 und zwischen jeweils 2 Extrempunkten sollte ein Wendepunkt sein.

UND wie hast du im ersten Blick ermittelt,dass die Funktion punktsymmetrisch ist?

Dreh mal das Buch um 180 Grad. Wenn der Graph dann noch genau so aussieht wie vor der Drehung ist er punktsymmetrisch.

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Danke für den Tipp :) Aber wenn ich z.b in der Klausur erklären muss warum der Graph punktsymmetrisch ist,bräuchte ich eine qualifiziertere Antwort.Was könnte ich denn als Antwortsatz schreiben?

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Bei Punktsymmetrie gilt f(-x) = f(x) ! Das kann man allerdings nur überprüfen wenn man einen Funktionsterm gegeben hat. Hier muss man das einfach mal so pi mal Daumen annehmen, weil wir ja nicht genau wissen ob z.B. der symmetrische Tiefpunkt wirklich bei (-1 | -1.2) liegt.

Da es aber so aussieht darf man das hier getrost annehmen. Anders kann man auch nicht auf die Funktion 5. Grades kommen.

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Also ich hab jetzt

a=2

b=-4,6

c=3,8

Ist das richtig? Das Tool sagt nämlich was ganz anderes

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Dann wirst du dich verrechnet haben. Das Tool liegt schon richtig. Ich habe meinen Graphen, siehe meine Antwort nach der Funktionsgleichund vom Tool zeichnen lassen.

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Ist in dem Fall bei dir C=2?

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Ja. c ist in dem Fall 2.

Answer 3

Punktsymmetrisch, also ungerader Grad. Vier Extremstellen, also mindestens Grad 5.

\( f(x)=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \)

Wegen Punktsymmetrie ist \( a_4=a_2=a_0=0 \)

Wegen der Tangente ist \( a_1=2 \).

Punkt \( H(1|1.2) \)in die Funktionsgleichung einsetzen. Außerdem ist \( f'(1)=0 \). Damit kannst du \( a_3 \) und \( a_5 \)  berechnen

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Ist jetzt a =2. In deinem Fall? Hab nämlich das gleiche raus

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In meinem Beitrag kommt kein a vor.