Matrizen der Form ((a,1),(0,b)) auf Invertierbarkeit und Diagonalisierbarkeit prüfen

Question

Hallo kann mir da jemand helfen ich komme nicht weiter...

Ich bedanke mich In Voraus

Comments

D.h., Du kannst etwa für a) nichtmal die Kriterien für Invertierbarkeit in Deinen Unterlagen finden?

Answer 1

Eine Äquivalenz ist:

Matrix invertierbar <-> Determinante ist ungleich 0.

Also bei a) : Determinante bestimen und dementsprechend a und b.

Bei b): Dass deine Matrix diagonalisierbar ist, zeigt man überwiegend über die Eigenwerte und Eigenvektoren.

Gilt geometrische Vielfachheit = Algebraische Vielfachheit für jeden Eigenwert, dann ist sie diagonalisierbar.

Hier: Sonderfall: Du erhältst eine obere Dreiecksmatrix. Was sagt das über die Diagonalelemente aus?

Betrachte verschiedene Fälle... :
wenn eine nxn Matrix n verschiedenen Eigenwerte hat, dann ....?

betrachte eigenwerte und eigenvektoren für die anderen fälle.

Comments

Ich komm bei der determinanten auf Alpha * Beta und weis nicht wie das mich weiterbringt :(

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Ja die Determinante ist richtig.  Wann wird diese Determinante denn gleich 0?

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Wenn Alpha oder Beta null ist. Aber ich denke es gibt noch mehr Fälle , weis aber grad nicht welche noch in Frage kommen

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Wenn Alpha oder Beta null ist. Aber ich denke es gibt noch mehr Fälle , weis aber grad nicht welche noch in Frage kommen

Hab jetzt wenn Alpha ungleich 0 , ok dann ist alles klar

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Nicht ganz.
Betrachte die Fälle:
a= 0 , b= 0
=> nicht invertierbar

a= 0 b beliebig
=> nicht invertierbar

a beliebig und b = 0
=> nicht invertierbar

Für alle anderen a und b ist die Matrix also invertierbar.

Die restlichen Aufgaben konntest du bereits lösen?