Gleichungen mit Binomialkoeffizienten beweisen

Question

1.) konnte ich lösen mithilfe der Definition des Binomialkoeffizienten.

2.) hier wollte ich gleich beginnen habe einbisschen ausmultipliziert und gekürzt und bin jetzt bei:

n*(n+k)!/n!  =  (n+1)!/(n-k)!    Sehe hier aber nicht wie ich zeigen kann, das es das gleiche ist.

3. hier weiss ich gar nicht wie anfangen soll. EDIT(Lu): Gemäss Kommentar erledigt. 

Comments

Das mit 3 kann ich dir irgendwie nicht glauben, wegen dieser Frage:

https://www.mathelounge.de/265895/mengenlehre-mit-binomialkoeffizient

;)

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Aaaah. Danke für den Kommentar, jetzt sehe ich den Zusammenhang.

Answer 1

Zu Nr. 2. Voraussetzung sei erst mal n und k sind natürliche Zahlen und nicht 0.

n * (n+k tief k) =?= (k+1) (n+k tief k+1)       ?      Fakultäten einsetzen.

n * (n+k)! / (k! * n!)  =?= (k+1) (n+k)! / (( k+1)! *(n-1)! )        |:(n+k)!

n  / (k! * n!)  =?= (k+1) / (( k+1)! *(n-1)! )         | links mit n kürzen, rechts mit k+1 kürzen

1/(k! * (n-1)!) =?= 1/(k! * (n-1)!)

ist dasselbe. qed.

Notiere den Beweis in einer logischen Reihenfolge.

Comments

Anmerkung: Für \(k=n=0 \) gilt die Gleichung ebenfalls.

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Danke.

Ich wollte mich jetzt nicht mit Fallunterscheidungen und Spezialfällen herumschlagen und den Fall k=0 Dabi überlassen.