Wurzelgleichung lösen: √x+8 - √x-8 = 2

Question

Aufgabe:

Löse die Wurzelgleichung: √x+8 - √x-8 = 2

Gib zudem die Definitions- und Lösungsmenge an.

Answer 1

Hi, man kann auch ein wenig Basteln: Durch Erweitern nach der dritten binomischen Formel wird aus Gleichung (1) die Gleichung (3):$$(1) \quad\sqrt{x+8} - \sqrt{x-8} = 2 \quad|\quad\cdot\left(\sqrt{x+8} + \sqrt{x-8}\right) \\\,\\ (2) \quad16 = 2\cdot\left(\sqrt{x+8} + \sqrt{x-8}\right) \\\,\\ (3) \quad\sqrt{x+8} + \sqrt{x-8} = 8$$Mit $\left((3)-(1)\right):2$ erhält man die zu $(1)$ äquivalente, einfache Wurzelgleichung $(4)$:
$$(4) \quad\sqrt{x-8}=3$$die sofort zu
$$(5) \quad x = 17$$ führt. Statt zu substrahieren, kann man auch addieren und erhält
$$(4) \quad\sqrt{x+8}=5$$was wiederum zu $(5)$ führt.

Answer 2

√x+8 - √x-8 = 2
⇔ √x- √x + 8 -8 = 2 (wegen Vertauschungsgesetz)
⇔ 0 + 8 - 8 = 2 (da - √x die Gegenzahl von √x ist)
⇔ 8 - 8 = 2 (da 0 neutral bei Addition ist)
⇔ 0 = 2 (da -8 die Gegenzahl von 8 ist)

Die Lösungsmenge ist leer.

Answer 3

wurzel(x+8) - wurzel(x-8) = 2    quadrieren

(x+8) - 2 wurzel(x² - 64) + ( x-8) = 4

- 2 wurzel(x² - 64)  =  4 - 2x    | -2

wurzel(x² - 64)  =  - 2  + x                nochmal quadrieren

x² - 64  =  4  -  4x + x²

-64  =   4  - 4x  

-68   =  - 4x

17 = x

Answer 4

√(x+8) - √(x-8)=2 |+√x-8

√(x+8) = 2 +√(x-8) |(..)²

x+8= ( 2 +√(x-8 )²

x+8= 4 +4 √(x-8) +x-8 |-x

8= 4 +4 √(x-8) -8

12= 4 *√(x-8) |:3

3=√(x-8) |(..)²

9= x-8

x=17

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung.

Definitionsbereich : ( 8;∞ ) in eckigen Klammern