Bestimmen sie den Konvergenzradius

Question

Berechne den Konvergenzradius für alle x aus R
habe diese form noch nie errechnet kenne nur die form ak * x^n


$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { (\frac { x }{ a } ) }^{ n } } *\quad \frac { 1 }{ n } $$ a ist aus C\{0}

weiss einer vielleicht wie ich vorgehen muss ?


oder berechne ich auch einfach so den konvergenzradius dazu kommt ja dann aber noch das mein ak= 1\k eine nullfolge ist und somit mein q=0 ist und somit der radius r = 1\0 wäre -.-

wäre dankbar für tipps

Answer 1

es liegt nahe in eine Darstellung umzuformen die bekannt ist. D.h.

$$ \left( \frac{x}{a} \right)^n \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{na^n} \cdot x^n$$

Schaffst du es damit den K-Radius zu bestimmen?

Gruß

Comments

so trivial ...
musste i-wie immer an die geometrsiche reihe denken das hat mich verwirrt gehabt

klar nun ist mit dem wurzelkriterium zu rechnen

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ n{ a }^{ n } }  }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \sqrt [ n ]{ 1 }  }{ \sqrt [ n ]{ n } \sqrt [ n ]{ { a }^{ n } }  }  } =\frac { 1 }{ a } $$ das ist mein q und r ist dann

r= 1/q = a



danke dir !!

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\(a\) ist eine komplexe Zahl :).

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stimmt dann erhalte ich 2 lösungen $$ \frac { 1 }{ a } \quad und\quad \frac { 1 }{ \sqrt { a } i } $$


nun wähle ich den limsup des maximums und das wäre ja dann 1/a oder?

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Nein es geht darum, dass du mit Beträgen arbeitest. Eine Aussage wie x<a macht in den komplexen Zahlen keinen Sinn.

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das bedeutet ?

arbeite ich dann immer noch mit 2 lösungen ?

oder betrachte ich dann einfach als meine lösung
$$ |\frac { 1 }{ \sqrt { a } i } | $$

stehe gerade so ein bisschen auf´m schlauch wie man merkt :D

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Einfach die korrekt Definition verwenden, nichts mit 2 Lösungen. Am Ende kriegst du heraus, dass der Konvergenzradius \(r = |a| \) und nicht \(r = a \) ist.

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oh mann peinlich von mir  danke dir !

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Kein Problem, ist auch nicht peinlich :).