Geometrische Verteilung und Normalverteilung

Question

Überprüfen Sie, dass die folgenden Gleichungen gelten:

Comments

Ich verstehe kein chinesisch XD

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Bei mir wird alles normal angezeigt. Die Frage sollte auch klar sein.

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Was ist b)?             

Answer 1

Vorschlag zur Umformung der Summanden bei (1).

p(1-p)^{k-1} = p(1-p)^{k-1} + 1*(1-p)^{k-1} - 1*(1-p)^{k-1}

= 1*(1-p)^{k-1} - (1-p)(1-p)^{k-1}

= (1-p)^{k-1} - (1-p)^{k}

Nach dieser Umformung könnte man die Formel für geometrische Reihen 2 mal anwenden oder vielleicht ein Teleskopsumme erkennen.

(2) substituiere (x-mü)/sigma = u. Dann kannst du nachher die Formel zu "b)" benutzen.

Answer 2

und für (2) wende bei dem gegeb. Integral die Substitution u = ( x - sigma) / my an.

dann ist du = dx / sigma also dx = sigma*du

und (erst mal ohne Grenzen hast du das Int:

$$ \int_ {}{}\frac { 1}{ \sqrt { 2π }σ }*{ e}^{-\frac { 1 }{ 2σ^2 } (σu+μ-μ)^2 }σdu $$
$$ =\int_ {}{}\frac { 1}{ \sqrt { 2π }}*{ e}^{-\frac { 1 }{ 2 } u^2 }du $$

und für x gegen +-unendlich geht auch u gegen +- unendlich.

Also ist das Ergebnis ( laut angegebener Hilfe ) = 1

Answer 3

Die Gleichung

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ p\cdot { \left( 1-p \right)  }^{ k-1 } } =1\quad \quad ;\quad \quad 0<p<1 $$

folgt unmittelbar aus der Konvergenz der geometrischen Reihe. Die Herleitung findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Konvergenz_und_Wert_der_geometrischen_Reihe

Es gilt:

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { a }_{ 0 }\cdot { q }^{ k } } =\frac { { a }_{ 0 } }{ 1-q } \quad \quad ;\quad \quad \left| q \right| <1 $$

In unserem Fall ist:

$$ { a }_{ 0 }=p\quad \quad ;\quad \quad q=1-p $$

Das Kriterium:

$$ \left| q \right| =\left| 1-p \right| <1 $$

ist ebenfalls erfüllt.

Ersetzt man in der Summenformel a₀ und q erhält man:

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ p\cdot \left( 1-p \right) ^{ k } } =\frac { p }{ 1-\left( 1-p \right)  } =\frac { p }{ p } =1 $$

Berücksichtigt man noch, dass

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ p\cdot { \left( 1-p \right)  }^{ k-1 } } =\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ p } \cdot { \left( 1-p \right)  }^{ k } $$

gilt, erhält man:

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ p\cdot { \left( 1-p \right)  }^{ k-1 } } =1 $$

w.z.b.w.