Umkehrfunktion von (x^2-1)/(x^2+1)

Question

ich knoble schon seit Stunden an einer Matheaufgabe herum und komme einfach nicht auf einen grünen Zweig!
Ich soll von der Funktion y=(x^2-1)/(x^2+1) die Umkehrfunktion bilden und danach erkennen, ob die beiden Funktionen überall stetig sind.Mein bisheriger Lösungsansatz ist darauf beschränkt, dass man x^2-1 aufgrund der binomischen Formeln als (x+1)(x-1) schreiben kann. Aber x^2+1 kann ich nicht faktorisieren. Deshalb erhalte ich x^2y+y=(x+1)(x-1).Weiss jemand von euch, wie ich in dem Versuch, die Gleichung nach x umzustellen weiterkommen kann, um die Umkehrfunktion zu bestimmen?Vielen Dank,
Nico

Answer 1

Mache zunächst eine Polynomdivision

y = (x^2 - 1)/(x^2 + 1) = 1 - 2/(x^2 + 1)

Jetzt hast du nur noch ein x und kannst schön nach x auflösen

2/(x^2 + 1) = 1 - y

(x^2 + 1)/2 = 1/(1 - y)

x^2 + 1 = 2/(1 - y)

x^2 = 2/(1 - y) - 1

x1 = + √(2/(1 - y) - 1)

x2 = - √(2/(1 - y) - 1)

Kannst du die anstehenden Fragen jetzt alleine Beantworten ?

Comments

Vielen Dank für die sehr schnelle Antwort! Ich konnte deine Schritte sehr gut nachvollziehen!Die Bedingung in der Aufgabe war noch, dass x>=0 sein muss. Das heisst dein x1 ist die einzig wahre Lösung?Ich wüsste aber weiterhin nicht, wie ich beweisen soll, dass die beiden Funktionen überall stetig sind?

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Kein Problem

y = (x² - 1)/(x² + 1)

Zähler und Nenner sind Polynome und damit stetig. Wann sind Brüche stetig? Nur wenn im Nenner keine 0 steht. Kann hier im Nenner eine 0 heraus kommen und wenn ja für welche Werte von x?

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x1 = + √(2/(1 - y) - 1) = √((y + 1)/(1 - y))

Was kann ich jetzt für y einsetzen damit der Term stetig ist.

1 - y <> 0 --> y <> 1

(y + 1)/(1 - y) > 0 --> -1 < y < 1

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Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen! :-)

Answer 2

Ziel ist

y=(x^2-1)/(x^2+1)  nach x aufzulösen.

Vorschlag: Dafür sorgen, dass der Bruch das x nur einmal enthält

(x^2-1)/(x^2+1)

= (x^2 + 1 - 2)/(x^2+1)

= 1 - 2/(x^2+1)

Nun

y = 1- 2/(x^2 + 1)

nach x auflösen.