Umformung (Beweis einer Aussage):

Question

Ich soll beweisen, dass A => B äquivalent zu ¬B => ¬A ist.

Unser Dozent ist wie folgt vorgegangen:
A => B <=> ¬A ∨ B (Ist klar, folgt per "Definition") <=> B ∨ ¬A (Ist auch klar)
<=> ¬(¬B) ∨ (¬A) <=> ¬B => ¬A

Die roten Schritte sind mir einfach nicht klar, bitte um Hilfe :-/

Florian T. S.

Answer 1

Per Definition ist B äquivalent zu ¬(¬B). Die Äquivalenz von ¬(¬B) ∨ (¬A) und ¬B => ¬A folgt dann aus der Definition von "=>". Falls das so abstrakt schwer nachzuvollziehen ist, dann erstelle eine Wahrheitstafel.

Comments

Per Wahrheitstafel konnte ich das ganze beweisen.

Jedoch verstehe ich den Schritt ¬(¬B) ∨ (¬A) und ¬B => ¬A nich,
da meiner Ansicht ¬(¬B) wiederum B ist und aus (B) ∨ (¬A) dann nicht ¬B => ¬A folgt :-/

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Nur weil ¬(¬B) = B ist, heißt das noch lange nicht, dass du ¬(¬B) durch B ersetzen musst. Es heißt lediglich, dass du es darfst. Ersetzen wir mal stattdessen ¬B durch B' und ¬A durch A'. Dann hat die Aussage ¬(¬B) ∨ (¬A) (von der du ja jetzt weißt, wie man auf sie kommt) die Form A' ∨ ¬B'. Und das ist nun mal per Definition äquivalent zu B' => A'. Jetzt schauen wir uns an, wofür B' und A' stehen und bekommen ¬B => ¬A.

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Vielen Dank oswald, ich wiederhole noch einmal alles.
Das man ¬(¬B) nicht durch B ersetzen muss wurde noch nicht angemerkt.

Florian T. S.

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Somit kann ich auch theoretisch  aus B ∨ ¬A direkt ¬B ∨ ¬A umformen
(nur durch Negation von B) und erhalte dann ¬B => ¬A ?