Question

untersuchen sie die Funktion f auf lokale extremalpunkte

a) f(x)=1/3x^3+1/2x^2-3x

b) f(x)= 1/4x^3-2

Answer 1

Ableitung bilden und gleich 0 setzen

f ' (x) = x^2 + x - 3   = 0

gibt mit pq-Formel  x =1,3 oder x=-2,3

Dann f ' ' (x) bilden = 2x+1

und f ' ' (1,3) = 3,6 > 0 also Minimum bei x=1,3

f ' ' (-2,3) = - 3,6 > 0 also Maximum bei x=-2,3

Answer 2

f '(x) ausrechnen

f ''(x) ausrechnen

Die Gleichung f '(x) = 0 lösen  ->  mögliche Extremstellen x_i

letzere in f ''(x_i) einsetzen

f ''(x_i) >0 -> Minimalstelle, f ''(x_i) < 0 -> Minimalstelle,

Falls f '' (x_i) = 0 musst du  prüfen, ob f '' bei x_i das Vorzeichen wechselt

VZW + -> - ergibt Maximalstelle, umgekehrt Minimalstelle. kein VZW -> Sattelstelle

Zur Kontrolle bei a):

Lösungen von f '(x) = 0:   x₁ = -2,302775637 ;  x₂ = 1,302775637

x₁ Maximalstelle, x₂ Minimalstelle

bei b) nur eine Sattelstelle bei x=0