Bestimmen Sie Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz der Folge

Question

x_n = n! / nⁿ

Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz der Folge sind zu untersuchen.

Durch einfaches Einsetzen weiß ich dass die Folge gegen 0 konvergiert, jedoch fehlt mir der Rechengang um dies wirklich zu beweisen...

Außerdem weiß ich dass die Folge monoton fallend ist. Dafür müsste die Ungleichung x_n ≥ x_n+1 eine wahre Aussage ergeben. Ich komme aber auch hier nicht auf ein richtiges Ergebnis da ich vermutlich einfach falsch mit dem nⁿ umgehe...

Answer 1

Hinweis: \( x_{n+1} = x_n \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right) ^n \).

Achja und falls du den Grenzwert nachweisen willst kannst du dir auch überlegen warum der folgende Spoiler gilt: 

\(x_n \leq \frac{1}{n} \forall n \in \mathbb{N} \).

Gruß

Comments

Bin mir nicht sicher wo mein Fehler ist...
Hier nochmal mein Gedankengang:

x_n+1 = (n+1)! / (n+1)⁽ⁿ⁺¹⁾  = n! (n+1) / (n+1)ⁿ (n+1) = n! / (n+1)ⁿ

Stimmt das zumindest so weit?

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Ja das ist richtig.

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Aber wie du dann auf

x_n * (n/(n+1))ⁿ

kommst kann ich nicht ganz nachvollziehen.

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$$ \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{n!}{(n+1)^n} $$

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Ok, der Rechengang ist verständlich.
Somit komme ich auf folgendes:

0 ≤ (n / (n+1))ⁿ

Und daraus schließe ich jetzt dass die Folge gegen 0 konvergiert?

Sorry für die vielen Fragen, aber das Thema wurde bei uns auf der Uni nur kurz durchgenommen und da waren die Beispiele um vieles leichter...
Aber kennst du vielleicht eine gute Seite bzw. ein Buch wo das alles gut erklärt ist?

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0 ≤ (n / (n+1))ⁿ  Das gilt sowieso 
  Und daraus schließe ich jetzt dass die Folge gegen 0 konvergiert? 
  Wieso? Sehe den Zusammenhang nicht, musst du mir schon genauer erklären. 
  Nicht schlimm, dafür ist die Seite ja da und Rückfragen schaden nie, sondern im gegenteil,zeigen Interesse daran eine Lösung zu erarbeiten. 
Falls du den Hinweis noch nicht ganz verarbeitet hast, wichtiger ist, dass \( \left(\frac{n}{n+1}\right)^n < 1\). Und somit bedeutet mein Hinweis: Jedes Folgenglied entsteht durch die Multiplikation des vorigen Folgengliedes mit einem Faktor kleiner als 1, was für die Folge bedeutet, dass....

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...die Folge monoton fallend ist, jedoch nie negativ wird und somit gegen 0 konvergiert?

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Nicht ganz,

bisher hast du nur gezeigt, dass sie beschränkt und monoton fallend ist, was zwar bedeutet, dass sie konvergiert aber uns noch nichts über den Grenzwert verrät.

Um nachzuweisen, dass sie tatsächlich gegen 0 konvergiert verwende doch den zweiten Hinweis, den du durch markieren der leeren Zeile in meiner Originalantwort erhalten kannst ;).

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Ok alles klar!

Danke nochmal, hast mir sehr weitergeholfen! :)