Ansatz F(x) = (ax+b)e^{-2x} als Stammfunktion von f(x) = (x+2)e^{-2x}

Question

Aufgabe:

Man betrachtet die Funktion \( \mathrm{f} \) mit der Gleichung \( f(x)=(x+2) e^{-2 x} \).

a) Die Gleichung einer Stammfunktion von \( \mathrm{f} \) ist von der Form \( F(x)=(a x+b) e^{-2 x} \).
Bestimmen Sie die Parameterwerte a und \( \mathrm{b} \) durch Ableiten von \( \mathrm{F}(\mathrm{x}) \) und Koeffizientenvergleich.

b) Der Graf von \( f \), die \( x \) -Achse und die Gerade \( x=1 \) beranden ein endliches Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt.

Answer 1

F(x) = (a·x + b)·e^{-2·x}

F'(x) = e^{-2·x}·(-2·a·x + a - 2·b)

-2a = 1
a = -0.5

a - 2b = 2
-0.5 - 2b = 2
-2b = 2.5
b = -1.25

F(x) = (-0.5·x - 1.25)·e^{-2·x}

F(∞) - F(1) = 0 - (- 7/4·e^{-2}) = 7/(4·e^2) = 0.2368367456

Comments

Stimmt, den Flächeninhalt gibt es auch noch^^.

Überlese ich da gerade was, oder ist nicht eindeutig, welcher Flächeninhalt gemeint ist?

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Dei Fläche von -2 bis 1 ist wohl sogar eher wahrscheinlich, weil dort von einer endlichen Fläche gesprochen wird. Bei mir wäre ja nur der Flächeninhalt endlich.

F(1) - F(-2) = - 7·e^{-2}/4 - (- e^4/4) = e^4/4 - 7/(4·e^2) = 13.41270076

Answer 2

a)

 

F(x)=(ax+b)e^{-2x} -> Ableitung: F'(x)=ae^{-2x}-2(ax+b)e^{-2x}

 

Vergleich:

x⁰: a-2b=2                                   ->b=-5/4

x¹: -2a=1    -> a=-1/2

 

F(x)=(-1/2*x-5/4)e^{-2x}

 

b)

Nullstellen finden:

(x+2)e^{-2x}=0 -> x=-2

 

Folglich ist von x=-2 bis x=1 zu integrieren:

∫_-2¹ f(x) = [F(x)]_-2¹≈13,41

 

 

Grüße