Extremwertaufgabe. Skizze der Bruchlinie: b(x) = -0.1x^2 + 40

Question

Wie berechnet man hier die Extremwertaufgabe

Auf dem Arbeitsblatt sieht man eine Skizze mit einer Funktionsgleichung. Die Aufgabe ist das man die Extremwertaufgabe berechnen soll. Ich hab das Problem,dass ich nicht erkenne wo die Parabel sich dort schneidet und wie man den Definizionsberech berechnen soll. Man soll ja am Schnittpunkt die nullstelle berechnen,aber ich erkenne keine. Kann mir jemand bei der Extremwertaufgabe Helfen ? Danke :)

Answer 1

Die Gleichung der Bruchlinie ist ja gegeben. Die musst du nicht ablesen.

Nun musst du aber vermutlich die Fläche des Rechtecks möglichst gross machen.

nimm die Stelle xo dort, wo die gestrichelte Linie die x-Achse schneidet.

f(xo) = Breite * Höhe

= (50 -xo) ( 70 - (-0.1xo^2 + 40))

Nun kannst du diese Funktion maximieren.

Comments

Wenn ich die Aufgabe gemacht habe,kann ich sie dir zeigen und du kontrollierst die bitte :)?

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30 nicht im Def. bereich !!!

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mathef: Danke. Ist weg.

Gast: Ja. Kann ich dann, wenn nötig ansehen.

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Ich komm bei der Untersuchung von extremstellen nicht weiter

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Bei den randwerten hab ich A(20)=0 und A(50)=-210

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Dein Ansatz für A ist falsch.

es muss nicht *x heißen sonder *(50-x)

denn das ist die Rechtecksbreite.

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Aber mein Lehrer meinte x-0

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Auch Lehrer können irren.

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Aber warum denn 50-x? Wir haben bei Aufgabe 1 gesagt,dass es x-0 ist ?

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In der Schule habt ihr das nicht einfach gesagt, sondern anhand der Skizze so bestimmt.

Euch interessierte, das mit A beschriftete Rechteck.

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Bei deiner Aufgabe musst du etwas mehr anschreiben.

rot: Breite des Rechtecks.

Lila: Höhe des fraglichen Rechtecks.

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Nun schraffiert noch das Rechteck, das du optimieren sollst.

Answer 2

f(x) = 40 - 0.1·x^2

Nullstelle f(x) = 0

40 - 0.1·x^2 = 0 --> x = 20

Schaffst du den Extremwert dann selber?

Extremstelle sollte bei x = 20 das Randextrema sein.

Answer 3

Es geht wohl darum das Rechteck (eine Ecke bei (50;70) und

die gegenüberliegende Ecke auf der Parabel) zu optimieren.

Rechtecksfläche, falls P(x;y)  hat die Maßzahl

A(x,y)  = (50-x) * ( 70-y) und y = -0.1x^2 + 40 also

A(X) = (50-x) * ( 70-( -0.1x^2 + 40 ))

= 0,01x^3 -0.5x^2 -30x +1500      mit x aus [0;20]

weil bei 20 eine Nullstelle der Parabel ist

Maximum also wenn A ' (x) = 0  oder am Rand

A ' (x) = -0,3x^2+10x-30 ist 0 für

x=30  (nicht im Definitionsbereich) oder x=10/3

A ' ' ( 10/3) = 8 > 0 also lok. Minimum bei x=10/3

also Randwerte prüfen

A(0) = 50*30=1500

A(20)=30*70 = 2100

also Optimum am rechnten Rand.

Answer 4

Gehen wir die Aufgabe einmal Schritt für Schritt durch
bis du die Lösung verstanden hast.

1.) Dein Ansatz ist bereits falsch

Das untere linke Rechteck hat die Seitenlängen
x und b ( x )
Das obere rechte Rechteck, was uns interessiert, hat die Seitenlängen
( 50 minus x ) und  (  70  - b ( x ) )

Soweit alles klar ?

Dann mache ich den nächsten Schritt vor. gesucht ist das
obere rechte Rechteck mit maximaler Fläche.
a ( x ) = ( 50 - x ) * [ 70 - ( -0.1 * x^2 + 40 ) ]
a ( x ) = ( 50 - x ) * [ 70 + 0.1 * x^2 - 40 ]
a ( x ) = ( 50 - x ) * ( 30 + 0.1 * x^2 )
a ( x ) = 1500 - 30 *x + 5 * x^2 - 0.1 * x^3

Soweit alles klar ?

Comments

F Okay ich bearbeite mal die Aufgabe :) und wie legt man den Definitionsbereich fest. Ich kann dir mal die Aufgabe schicken,die wir mit dem Lehrer gemacht haben wo x-0 ist

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Die ganze waagerechte Strecke, deine geschweifte Klammer,
geht vom rechten x bis 0, daher x - 0. Das vergessen wir aber.

Falls dir meine beiden Schritte klar sind.Der Maximalwert
der Fläche
a ( x ) = 1500 - 30 *x + 5 * x² - 0.1 * x³
ist die erste Ableitung bei der diese 0 ist.
a ´( x ) = - 30 + 10 * x - 0.3 * x²

- 30 + 10 * x - 0.3 * x² = 0
Die Gleichung kann mit der
-pq-Formel oder der
- quadratischen Ergänzung gelöst werden.
Ich nehme an das kannst du.

x = 3.333 ( ist ein Tiefpunkt )
x = 30 ( ist ein Hochpunkt, Maximalwert )

Gegen die Lösung gibt es einen Einwand.
Bei  x = 20 ist der Maximumwert  der Bruchline bereits errreicht:
y = 0 bei
b ( x ) = -0.1 * x² + 40 = 0
x = 20
Das heißt die Formel für die Bruchlinie geht in
der Realität von 0 bis 20. Dies nennt man den
Definitionsbereich.
D = [ 0 ; 20 ]

Bis x = 20 gilt die Formel für b ( x ) und damit auch a ( x ).
Dann gilt
a ( x ) = ( 50 - x ) * 70
D = [ 20 ; 70 ]
bei x = 20 ist der größte Wert
a ( 20 ) = ( 50 - 20 ) * 70 = 2100

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Okay und wie funkender die randwertbetrachtung

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Okay und wie funkender die randwertbetrachtung

Ich nehme an du meinst

Okay und wie funktioniert  die randwertbetrachtung ?

Dies ist eine Betrachtung des Funktionswerts am Rande des
Definitionsbereichs bei x = 20. Das haben wir oben schon gemacht.

Ich möchte die Beantwortung deiner Anfrage hiermit abschließen.
Sicherlich wird die Aufgabe auch noch im Unterricht besprochen.