Question

Beweisen oder widerlegen die folgenden Ausssagen. Beim wahre Aussage muss Direkter Beweis verwendet werden:

a) Die Summe dreier ungerader Zahlen ist stets ungerade

b)Wenn eine Zahl durch 7 und durch 8 teilber ist, dann ist sie auch durch 15 teilbar

c) Wenn sich zwei geraden schneiden, dann sind sie sekrecht zu einander

d)Seien a,b ∈ℕ, dann gilt: a/b +b/a≥2

Answer 1

Hi,

b) Gegenbeispiel: 7*8=56 und das ist nicht durch 15 teilbar

c) g(x)=2x h(x)=3x

Diese sind nicht orthogonal zueinander (Sonst müsste die Bedingung m_g·m_h=-1 erfüllt sein) schneiden sich aber im Ursprung.

d) a/b +b/a≥2

(a^2+b^2)/ab≥2  |*ab (ist kein Problem, da a und b aus N und damit nicht negativ)

(a^2+b^2)≥2ab   |-2ab

a^2-2ab+b^2≥0 

(a-b)^2≥0

 

Das ist offensichtlich der Fall. Dank dem Quadrat gilt immer ≥0.

 

Zur a)

3 ungerade Zahlen: (2n+1), (2k+1) und (2l+1)

Addition dieser:

(2n+1)+(2k+1)+(2l+1)

=2n+2k+2l+3

 

Die ersten drei Summanden sind offensichtlich gerade, da durch 2 teilbar. Nur der letzte Summand ist ungerade. Damit ist auch die Summe selbst ungerade.

 

Grüße